Cтраница 3
Выполнение краевых условий автоматически следует из определения множества функ ции и. Пусть функция v ( p) удовлетворяет тем же требованиям гладкости, что и функция г з, а на поверхности 5 обращается в нуль. [31]
Выполнение краевых условий автоматически следует из определения множества функции и. Пусть функция г ( р) удовлетворяет тем же требованиям гладкости, что и функция 1 з, а на поверхности S обращается в нуль. [32]
Если мы исходим из постоянного начального условия no ( q) const, то при t / Ене р существенный вклад в n ( q, t) вносят только локализованные собственные функции. Такое возникновение островков можно наглядно интерпретировать, как возникновение видов; по истечении определенного времени из первоначально недифференцированной массы индивидов под действием все возрастающего давления отбора жизнеспособными остаются только особые, четко различимые между собой комбинации фенотипических черт. В общем случае можно утверждать, что возникновения разумного процесса эволюции ( появления все более приспособленных видов) в нашей модели можно ожидать только тогда, когда имеется локализованная собственная функция. Это так называемое требование гладкости, которому должна удовлетворять функция приспособленности ( Conrad, 1978), допускает, таким образом, вполне наглядную интерпретацию. Что же касается типичных реализаций ансамбля случайных функций с корреляционной функцией (9.24), то они хотя и непрерывны, но не дифференцируемы, и поэтому при переходе от точки к точке могут изменяться весьма заметно и резко. Поскольку в этом случае система в среднем не может по известному значению функции приспособленности в точке q строить какие-либо заключения о значениях, принимаемых функцией приспособленности в ближайшей окрестности точки q, не может быть выработана стратегия, и процесс отбора не может компенсировать разрушительное действие мутаций. То, что наша модель приводит к такому режиму только при нулевой длине корреляции / О, обусловлено диффузионным приближением (9.11) для мутаций. [33]
Теперь видно, что задача Лагранжа по существу не отличается от задачи оптимального управления; просто последняя представляет собой более современную формулировку первой. Иногда указывают на небольшие видимые различия, но на самом деле они совсем несущественны. Например, как было отмечено, управление и принимает значения из множества U и это множество обычно задается не уравнениями, а неравенствами; но ведь нули функции Ф тоже могут заполнять целые области. Наконец, возможны различия в требованиях гладкости, которым должны удовлетворять рассматриваемые функции в этих двух задачах; но эти различия носят временный характер, так как мы уже знаем, что первоначальную постановку вариационных задач следует менять в соответствии с нуждами теорем существования. [34]
Замечание 46.4. Имеется целый ряд задач, касающихся этих вопросов, и, вообще говоря, до сих пор удовлетворительно не решенных. В частности, вопрос гладкости границы является источником заметных трудностей. Дирихле для уравнения второго порядка) можно показать, что любую функцию g0 g W ( Г) несложно продолжить на всю область G. Однако здесь, вообще говоря, необходимо требование определенной гладкости функции gQ ( S), поскольку недостаточно непрерывности функции gQ ( S) на границе. Как уже отмечалось выше, даже на границе единичного круга была построена непрерывная функция, не являющаяся следом никакой функции из W. [35]
Таким образом, классические постановки задач уже предполагают достаточную гладкость входящих в задачу данных. Однако в наиболее интересных задачах эти данные могут иметь довольно сильные особенности. Поэтому для таких задач классические постановки уже оказываются недостаточными. Чтобы поставить такие задачи, приходится отказываться ( частично или полностью) от требований гладкости решения в области или вплоть до границы, вводить так называемые обобщенные решения. Но тогда встает вопрос о том, какие функции можно называть решениями уравнения. Изучению этого вопроса целиком посвящается следующая глава. [36]
Получивший в последнее время интенсивное развитие метод конечных элементов свободен от ряда недостатков описанных методов: он не требует специальных усилий по построению системы базисных функций, являющейся сильно минимальной, при его использовании упрощается написание уравнений вблизи границы. Матрица линейной системы уравнений содержит относительно малое число ненулевых элементов. При использовании таких систем не требуется знание теории численных методов и тонкостей программирования. Исследователь должен лишь задать триангуляцию области, а часто система и сама осуществляет такую триангуляцию. Эти методы сходятся при меньших требованиях гладкости, чем конечно-разностные методы. В случае квазиравномерных триангуляции базисные функции метода автоматически удовлетворяют условию сильной минимальности. [37]