Cтраница 3
Это побудило их развить метод, который очень подходит для доказательства фактов, продиктованных обобщением численных экспериментов, т.е. результатов, полученных ординарной индукцией. Паскаля Об арифметическом треугольнике, опубликованном в 1654 году, мы найдем объяснение метода математической индукции практически в современном виде. Конечно, арифметический треугольник из названия трактата сейчас известен как треугольник Паскаля. [31]
Каждое треугольное число может быть изображено в виде треугольника, число углов которого ( 3) одновременно дает и ( количество) углов соответствующего числа. Вместо натурального ряда мы можем взять и более общий случай арифметической прогрессии, у которой первый член и разность отличаются от единицы. Наша задача состоит в том, чтобы найти число, равное сумме членов соответствующего арифметического ряда. Эта задача в настоящее время не представляет для нас большого интереса, но все же стоит подумать, почему же ею занимались два античных математика, разделенных некоторым ( даже не вполне определенным) временем. Кроме того, аналогичные вопросы интересовали математиков индийских, среднеазиатских ( ал - Каши, XV век) и, наконец, ими занимался также поклонник геометрических ( не алгебраических) методов знаменитый французский математик XVII века Блэз Паскаль, арифметический треугольник которого известен ученикам средней школы. [32]
Первая глава книги посвящена общим правилам комбинаторики - правилам суммы и произведения. Во второй главе изучаются размещения, перестановки и сочетания. Этот традиционный школьный материал сопровождается разбором некоторых занимательных примеров. В главе III мы изучаем комбинаторные задачи, в которых на рассматриваемые комбинации налагаются те или иные ограничения. В главе IV рассмотрены задачи на разбиения чисел и рассказано о геометрических методах в комбинаторике. Глава V посвящена задачам о случайных блужданиях и различным модификациям арифметического треугольника. В главе VI рассказано о рекуррентных соотношениях, а в главе VII - о производящих функциях, и в частности о биномиальной формуле. [33]