Cтраница 4
Предположим теперь, что мы имеем какое-нибудь периодическое движение, например, соответствующее одному из гармонических треугольников, описанных в положительном направлении. Очевидно, что преобразование Т переводит состояние движения шара в одной вершине в такое же состояние во второй, состояние во второй вершине в состояние в третьей и. Таким образом, при применении преобразования Т тройка точек кольца перемешается циклически, и все точки этой тройки инвариантны при применении третьей степени Г3 этого преобразования. Обратно, любой тройке точек, обладающей этим свойством, или. [46]
Последнее свойство делает это понятие не совсем комбинаторным, потому что мы должны проанализировать, когда эта композиция операторов отлична от нуля. На первый взгляд это обесценивает такое понятие, потому что проанализировать такие вещи - это, в сущности, задача того же порядка, что и проанализировать сами кратности. Но на самом деле это не так, потому что та формула, которую я сейчас напишу, использует МгаН ы только в очень ограниченном числе. Нам нужно получить ответ для любой тройки старших весов. Оказывается, что форма ответа следующая. [47]
Элементы подкольца, порожденного совокупностью aa, являются линейными комбинациями - одночленов, и потому для доказательства лиевости подкольца достаточно доказать, что любая тройка одночленов z, г., w лиева. По условию тройки одночленов, сумма степеней которых равна 3, лиевы. По индукции предположим, что для троек, сумма степеней одночленов которых меньше, чем эта же сумма у данной тройки z, г., w, утверждение верно, и пусть степень z больше единицы. Тогда z уи и в силу индукции любая тройка элементов из четверки у, u, v, w лиева. Следовательно, указанные четыре элемента связаны соотношением ( 9), которое и показывает, что тройка z, v, w лиева. [48]
Из теорем 2 и 3 следует, в частности, что всегда существует тройка взаимно ортогональных главных направлений. Действительно, если все корни характеристического уравнения - простые, то соответствующие им однозначно определенные главные направления образуют как раз требуемую тройку. Если один корень - про-9 стой, а другой - двойной, то такую тройку образуют однозначно определенное главное направление, соответствующее простому корню, и любые два направления, ортогональные к нему и друг к другу. Наконец, если характеристическое уравнение имеет тройной корень, то любая тройка взаимно ортогональных направлений есть вместе с тем тройка главных направлений. Поэтому преобразование квадратичной формы к виду ( 8) и называют преобразованием к главным осям. [49]