Cтраница 3
Чтобы построить расширяющееся слоение, можно разбить многообразие на достаточно малые области и взять в каждой из них произвольное слоение, слои которого имеют размерность плоскостей расширяющегося поля и образуют с этими плоскостями не слишком большой угол. Применим к этим слоениям У-диффеоморфизм и его итерации. Оказывается, полученная последовательность кусочных слоений сходится к настоящему расширяющемуся слоению. [31]
Описанная конструкция позволяет построить сжимающееся и расширяющееся слоения не только для данного У-диффеоморфизма, но сразу и для близких к нему У-диффеоморфизмов. Таким образом, свойство быть У-диффеоморфизмом сохраняется при малом ( с производными) шевелении диффеоморфизма. Кроме того, из конструкции видно, что сжимающееся и расширяющееся слоения ( или лучше поля плоскостей) непрерывно зависят от диффеоморфизма. [32]
В переведенной статье Френкса уделяется некоторое внимание У-накрытиям. Выделение этого класса объектов мотивируется желанием унифицировать У-диффеоморфизмы и растягивающие отображения. Оказывается, однако, что унификация достигается довольно относительная. По-видимому, из этих работ можно вывести и то, что только в этих двух случаях оно является лi - накрытием. Конечно, сказанное не означает, что У-накрытия вообще нецелесообразно рассматривать. Например, вполне разумной - задачей представляется исследование их эргодических свойств. Ниже объясняется в общих чертах, в чем тут дело. Мы увидим, что даже само определение У-накрытия следует несколько изменить, если мы хотим, чтобы при малом ( в смысле С1) возмущении У-н-акрытия получалось снова У-накрытие. [33]
Рассмотрим вертикальный диск исходного слоения, проходящий через исходную точку, и его образы под действием положительных степеней исходного У-диффеоморфизма. [34]
Название происходит от первой буквы слова условие. Аносов назвал условия 1 - 3 условиями У и предлагал, чтобы по-английски их называли conditions ( 7; он предложил также называть У-диффеоморфизмы У-кас-кадами. [35]
Легко показать, что все примеры У-диффеоморфизмов, описанные во введении, разложимы. [36]
Это доказано Шубом и Уильямсом в [16] с помощью рассуждения с индексами, которое дословно переносится на этот случай с использованием относительного варианта формулы Леф-шеца. В случае, когда аналогичному условию ориентируемости удовлетворяет также и устойчивое подрасслоение Es на множестве Qit Рюэлль и Сулливан [17] построили собственный вектор в Нь. R) с собственным значением A, log X h ( f Qi) аналогично тому как это было сделано выше для У-диффеоморфизмов. [37]