Cтраница 2
Впрочем, для первых четырех у-множеств имеется некоторое простое объединяющее их наблюдение: всякое линейно упорядоченное множество является решеткой. Действительно, для пары сравнимых элементов у-множества точной нижней гранью будет меньший из этих элементов, а точной верхней гранью - - больший. [16]
В общем случае наименьший элемент у-множества обозначается символом О ( и называется также нулем), а наибольший - символом I ( и часто называется единицей), но в каждой конкретной ситуации используют имеющиеся традиционные знаки. [17]
Иногда рисуют диаграммы и для бесконечных у-множеств. Конечно, мы не можем изобразить все элементы такого у-множества, но получающиеся рисунки дают ясное представление о его устройстве. N, ) и ( N -, ), а на рис. 4, в изображено у-множество бесконечной длины, все цепи которого конечны. [18]
Заметим, что в каждом конкретном у-множестве для обозначения порядка, как правило, имеется свой традиционный знак. [19]
Таким образом, решетка - это у-множество, в котором любые два элемента имеют дочную верхнюю грань и точную нижнюю грань. [20]
Покажем теперь, что всякое / У-множество имеет меру нуль. [21]
Пусть & ( т обозначает число неизоморфных у-множеств о п элементами. [22]
Рассмотрим конфигурацию из всех / с-подмножеств данного у-множества S. Посмотрим, выполняется ли условие о парах элементов. [23]
Теперь мы видим, что в у-множестве ( F, ) выполняется условие Куратовскоко - Цорна: каждая цепь имеет верхнюю грань. [24]
Цепи у-множества ( Л, ) сами образуют у-множество относительно теоретико-множественного включения. [25]
Элемент а называется верхней гранью непустого подмножества X у-множества ( Л, ), если все элементы из X содержатся в а. Двойственно вводится понятие нижней грани непустого подмножества у-множества. Ясно, что подмножество может иметь много верхних и много нижних граней, а может и не иметь их совсем. Лемма Куратовско го - Цорна. Если в упорядоченном множестве каждая цепь имеет верхнюю грань, то всякий элемент этого упорядоченного множества содержится в некотором максимальном элементе. [26]
Но это невозможно, так как ф - максимальный элемент этого у-множества. [27]
Доказанная теорема позволяет рассматривать полную решетку в двух аспектах: как у-множество, в котором определены точные грани всех непустых подмножеств, и как Р - алгебру с двумя ассоциативными Р - опера-циями, удовлетворяющими законам поглощения. [28]
Конечно, принцип двойственности для решеток является следствием принципа двойственности для у-множеств: если класс решеток задается системой аксиом, не меняющейся при взаимной замене в каждой аксиоме знаков Д и V ( такая система аксиом называется самодвойственной), то этот класс замкнут относительно дуальных порядковых изоморфизмов. [29]
Другим слодстЕмвм является возможность выбора решеток из перечисляемых программой у-шожеств Программе достаточно обнаружить что в коде у-множества yen шт подксща у-множества, которое изоморфно у множеству с диаграммой йа рио. [30]