Cтраница 2
Аналогично h ( z) и g ( z) - два независимых решения уравнения параксиальных лучей с различными начальными условиями для реального и асимптотического случаев. Уравнение (6.45) является, таким образом, только формальным представлением аберрационных интегралов, как они записываются в общем случае. [16]
Приведенные выше решения в простом специальном случае с 0 имеют особенности, но тем не менее решение уравнения параксиальных лучей может быть получено без особых трудностей. [17]
Отметим, что по определению / ( z) 0 для таких распределений полей и траекторий, которые удовлетворяют уравнению параксиальных лучей. [18]
Уравнение параксиальных лучей решается с этими коэффициентами для каждого интервала, а соответствующий интеграл аберраций оценивается численно. Естественно, с первой попытки коэффициент аберрации будет слишком высок, а ограничения вряд ли будут выполнены. [19]
Повторим вывод уравнения параксиальных лучей ( 4.31, данный в разд. [20]
Следующее приближение заключается в использовании квадратичной функции для аппроксимации распределения магнитной индукции на каждом сегменте, что эквивалентно кусочно-кубической аппроксимации магнитного скалярного потенциала. Хотя в этом случае не существует аналитического решения уравнения параксиальных лучей, это приближение хорошо подходит для моделирования магнитных линз ( см. разд. [21]
Если как электростатический потенциал, так и распределения магнитной индукции симметричны по отношению к плоскости 2 0, то из уравнений (5.26) - (5.31) следует, что функции а. Если, кроме того, увеличение равно - 1, то решения уравнения параксиальных лучей h ( z) и g ( z) являются соответственно симметричной и антисимметричной функциями по отношению к той же плоскости. Из уравнений (5.68) - (5.75) видно, что подынтегральные выражения у коэффициентов аберраций Л4, А5 и Л6 являются антисимметричными функциями г; таким образом, в этом случае исчезают дисторсия, кома и анизотропный астигматизм. [22]
Однако на практике траектории всегда имеют конечные смещения z и конечные наклоны т относительно оси. Даже если они невелики, пренебрежение в разложении в ряд членами высших порядков, необходимое для вывода уравнения параксиальных лучей, приводит к ошибке. Следовательно, параксиальная теория всегда неточна. В действительности изображением точечного объекта будет не одна определенная точка, а размытое пятно, образованное пересечением различных лучей с разными наклонами в разных точках изображения. Эти лучи пересекают гауссову ( параксиальную) плоскость изображения в различных точках, поэтому изображение - не точка, а пятно конечных размеров, которое может иметь даже неправильную форму. Это явление называется геометрической аберрацией. Пример такого эффекта был рассмотрен в разд. Было установлено, что четкое изображение может быть получено, если только траектории частиц близки к силовым линиям поля. В противном случае различные частицы будут сфокусированы по-разному и изображение будет размытым. [23]
Уравнение параксиальных лучей (4.31) все еще остается нелинейным дифференциальным уравнением. Существует также и третья возможность: приравнивая С к нулю, можно рассчитать значение сю, при котором уравнение параксиальных лучей становится линейным. [24]
Очевидно, т1 соответствует большей концентрации поля, чем модель Глазера. Формула (8.63) дает распределение, близкое к случаю ненасыщенной линзы, но, к сожалению, при этом уравнение параксиальных лучей нельзя точно проинтегрировать. В любом случае, даже если необходимы численные вычисления, уравнение (8.61) дает ценную модель для сравнения магнитных линз с разной степенью концентрации поля. [25]
Глазером [16], хорошо аппроксимирует аксиальное распределение магнитной индукции такой линзы вблизи насыщения ( см. разд. Хотя ненасыщенный режим более желателен, детальное исследование свойств линзы, описываемых этим распределением, остается крайне важным, потому что оно позволяет получить не только точное решение уравнения параксиальных лучей, но и аналитически вычислить коэффициенты аберрации. Более того, как оказывается, формула (8.25) описывает ньютоновское поле ( см. разд. [26]
Наиболее важное казалось бы свойство, а именно: используется ли линза для электронов или для ионов, в действительности не вызывает трудностей при рассмотрении. Действительно, различие между ними состоит только в различном отношении заряда к массе. Как известно, уравнение параксиальных лучей (4.40) содержит эту величину только для магнитных линз или быстрых частиц. В нерелятивистском случае траектория в электростатических линзах остается одной и той же для любых частиц. Поэтому для фокусировки ионов следует использовать электростатические линзы. Единственное в этом случае различие между положительно заряженными и отрицательно заряженными частицами состоит в том, что знаки всех электродных потенциалов должны быть обращены, если требуется фокусировать частицы другого знака. [27]
Тогда A U ( 0) и число свободных коэффициентов сводится к N. Для заданного набора этих коэффициентов легко решить уравнение параксиальных лучей и оценить объективную функцию численно. [28]
Точно такая же проблема возникает в задачах оптимального-контроля. Минимизация может быть выполнена с помощью любого из методов нелинейного программирования [344], например квазиньютоновским алгоритмом. Окончательный результат является набором новых коэффициентов, удовлетворяющих уравнению параксиальных лучей совместно с заданными ограничениями и одновременно минимизирующих интеграл аберраций. [29]
Толь - - ко эти распределения и их производные входят в уравнение параксиальных лучей и в выражения для коэффициентов аберрации. Тогда вместо анализа огромного количества конфигураций и полюсных наконечников можно выбрать критерии, определяющие требуемую систему, в качестве начальных условий и попытаться найти такое распределение поля, создающего изображение, которое будет их реализовать. Конечной задачей является синтез реальных конфигураций электродов и полюсных наконечников, которые создают такое распределение поля. [30]