Cтраница 3
Наглядности ради читатель может оперировать с частным случаем действительной симметричной матрицы и при Н представлять себе уравнение поверхности второго порядка. [31]
Для пояснения сказанного обратимся к той задаче, с которой мы начали предыдущий номер, а именно к задаче приведения уравнения поверхности второго порядка к осям симметрии. Положим для определенности, что эта поверхность есть эллипсоид. Случай разных корней уравнения ( 144) соответствует тому факту, что все полуоси этого эллипсоида различны. В этом случае единственный произвол в выборе окончательных осей координат сводится к изменению направления этих осей. Наконец, если уравнение ( 144) имеет все три одинаковые корня, то наш эллипсоид есть сфера, и наше уравнение не содержит членов с произведениями координат. В этом случае мы вообще можем совершенно произвольно выбирать прямолинейные, прямоугольные координатные оси в пространстве. [32]
Для пояснения сказанного обратимся к той задаче, с которой мы начали предыдущий номер, а именно к задаче приведения уравнения поверхности второго порядка к осям симметрии. Положим для определенности, что эта поверхность есть эллипсоид. Случай разных корней уравнения ( 144) соответствует тому факту, что все полуоси этого эллипсоида различны. В этом случае единственный произвол в выборе окончательных осей координат сводится к изменению направления этих осей. [33]
Поэтому если в общем уравнении поверхности второго порядка (4.34) в качестве коэффициентов si подставить компоненты симметричного тензора второго ранга Atj, то получим уравнение поверхности второго порядка, которое называется характеристической поверхностью тензора второго ранга. [34]
Уравнение (38.2) определяет поверхность, по которой перемещается точка N, при изменении направления оси v при условии ON l / ] / Jv. Это уравнение представляет собой уравнение поверхности второго порядка. Этот эллипсоид называется эллипсоидом инерции. Центр эллипсоида находится в начале координат, так как уравнение (38.2) не содержит координат в первой степени. Три оси симметрии эллипсоида инерции называются главными осями инерции тела в точке О, а моменты инерции относительно этих осей называются главными моментами инерции. [35]
Пусть в r - массиве ячеек памяти машины имеются коэффициенты уравнений пересекающихся поверхностей второго порядка, вычисленные тем или иным способом. Введем z ht и вычислим содержание соответствующих r - ячеек. [36]
Уже у Плюккера имеется весьма существенное дальнейшее развитие всего этого подхода. По аналогии с тем, как он рассматривает три коэффициента уравнения плоскости как ее переменные координаты, он приходит к мысли рассматривать вообще постоянные, от которых зависит какой-нибудь геометрический образ, - например, девять коэффициентов уравнения поверхности второго порядка - как переменные координаты этого образа, и исследовать, что могут означать те или иные уравнения между ними. [37]
Заметим, прежде всего, что через любые девять точек проходит по крайней мере одна поверхность второго ( или первого ] порядка. Действительно, уравнение поверхности второго порядка получается приравниванием нулю многочлена второй степени от переменных х у и z такой многочлен определяется заданием десяти коэффициентов ( трех - при квадратах переменных, трех - при их попарных произведениях, трех - при первых степенях переменных и, наконец, одного свободного члена) и линейно зависит от этих коэффициентов. При этом роль играют лишь их отношения. Условие прохождения поверхности через девять заданных точек налагает на коэффициенты левой части ее уравнения девять линейных связей. Таким образом, для определения уравнения поверхности второго порядка, проходящей через девять заданных точек, получаются девять линейных однородных уравнений относительно десяти неизвестных коэффициентов. Этим наше утверждение и доказано. В том случае, когда коэффициенты при всех членах второй степени оказываются равными нулю, получается уравнение первого порядка. [38]
Это равенство совпадает с равенством (8.18), которое было получено раньше при решении задачи нахождения главных осей поверхности второго порядка. Эти оси образуют систему базисных векторов, которые перпендикулярны между собой и которые поэтому могут быть введены в качестве новой ортогональной координатной системы. Посмотрим, что случится с уравнением поверхности второго порядка в результате этого преобразования. [39]
Мы при этом получаем некоторую искусственно построенную поверхность, лишенную какой бы то ни было наглядности. Но зато в левой части уравнения будет константа, а поверхность представляет собой некоторую поверхность второго порядка. Свойства этих поверхностей хорошо изучены, и из курса аналитической геометрии известно, что уравнение поверхности второго порядка поворотом системы координат может быть преобразовано так, что коэффициенты при произведениях разноименных координат обращаются в нуль. Очевидно и наше искусственно построенное уравнение обладает тем же свойством. Но при произведениях yz, zx и ху в нашем случае коэффициентами являются касательные напряжения ryz, rzx и тжу. И из всего сказанного следует очевидный вывод, что в любой точке напряженного тела всегда можно найти такие три взаимно перпендикулярные площадки, в которых касательные напряжения обращаются в нуль. Такие площадки называются главными. Оси, перпендикулярные главным площадкам, называются главными осями. [40]
Изложенные в предыдущем описании алгоритмы решают задачу алгоритмического построения координат точек, принадлежащих линии пересечения, включая экстремальные точки. Эти алгоритмы работоспособны при условии предварительного составления уравнений исходных поверхностей второго порядка и формул решения. В ряде случаев такую работу легко выполнит любой инженер или сотрудник вычислительного центра. В более сложных задачах могут возникнуть ситуации, в которых исходные данные заранее неизвестны, а поверхности определяются параметрами, появляющимися в ходе решения общей конструктивной проблемы. Возникает задача алгоритмического вычисления коэффициентов уравнений поверхности второго порядка путем переработки информации об исходных параметрах. [41]
Заметим, прежде всего, что через любые девять точек проходит по крайней мере одна поверхность второго ( или первого ] порядка. Действительно, уравнение поверхности второго порядка получается приравниванием нулю многочлена второй степени от переменных х у и z такой многочлен определяется заданием десяти коэффициентов ( трех - при квадратах переменных, трех - при их попарных произведениях, трех - при первых степенях переменных и, наконец, одного свободного члена) и линейно зависит от этих коэффициентов. При этом роль играют лишь их отношения. Условие прохождения поверхности через девять заданных точек налагает на коэффициенты левой части ее уравнения девять линейных связей. Таким образом, для определения уравнения поверхности второго порядка, проходящей через девять заданных точек, получаются девять линейных однородных уравнений относительно десяти неизвестных коэффициентов. Этим наше утверждение и доказано. В том случае, когда коэффициенты при всех членах второй степени оказываются равными нулю, получается уравнение первого порядка. [42]