Cтраница 5
Спутник, рассмотренный в задаче 436, подвешен на торсионной подвеске в вакуумной испытательной камере. Жесткость торсиона равна 2 кГ м / рад. Силы сопротивления, пропорциональные скорости вращения ft, отсутствуют. Спутник сбалансирован и поэтому моменты от сил тяжести пренебрежимо малы. Найти оптимальный по быстродействию закон управления, уравнение фазовых траекторий линий переключения и уравнение для расчета времени движения на участках между переключениями. [61]
Спутник, рассмотренный в задаче 436, подвешен на. Жесткость торсиона равна 2 кГ м / рад. Силы сопротивления, пропорциональные скорости вращения и, отсутствуют. Спутник сбалансирован и поэтому моменты от сил тяжести пренебрежимо малы. Найти оптимальный по быстродействию закон управления, уравнение фазовых траекторий линий переключения и уравнение для расчета времени движения на участках между переключениями. [62]
Однако не все они, пригодные для анализа движений в консервативных системах, можно без дополнительных оговорок или модификаций использовать для анализа диссипативных систем. При рассмотрении свободных колебаний метод фазовой плоскости остается полностью пригодным и для этого класса задач, приводя лишь к большему разнообразию типов особых точек и фазовых траекторий. Так, например, в фазовых портретах колебаний в диссипативных системах мы уже не встретимся с особыми точками типа центр, но зато могут появиться особые точки типа фокус или узел, в которые стягиваются все фазовые траектории, расположенные в определенной области вокруг этих особых точек. В фазовых портретах диссипативных колебательных систем мы встречаемся также со сходящимися траекториями колебательных систем вместо совокупности замкнутых траекторий, окружающих особые точки, соответствующие устойчивым положениям равновесия. Так же как и при рассмотрении поведения консервативных колебательных систем с помощью фазовой плоскости, построение самих фазовых траекторий для диссипативных систем может производиться или посредством построения аналитически найденного решения уравнений фазовых траекторий или с использованием известных приближенных графических и аналитических методов. Отмеченные выше существенные особенности диссипативных систем, заключающиеся в том, что любые свободные колебания в системе, предоставленной самой себе, неизбежно затухают, приводят к тому, что для количественного рассмотрения свободных колебаний с учетом потерь нельзя без существенных оговорок пользоваться методом последовательных приближений, в котором за нулевое приближение принимается гармоническое движение. Данный метод может применяться лишь для ограниченных временных интервалов в случае достаточной малости затухания, и поэтому его использование с подобными оговорками существенно снижает его практическую ценность. Это заставляет нас в тех случаях, когда не удается найти прямое и точное решение дифференциального уравнения, описывающего систему, искать другие пути нахождения приближенного решения, учитывающего специфику нелинейных диссипативных систем и пригодного для любого интервала времени. Из возможных методов нахождения приближенного решения следует в первую очередь указать на метод поэтапного рассмотрения и, в частности, на кусочно-линейный метод, а также на метод медленно меняющихся амплитуд. [63]
Если аппроксимировать нелинейные зависимости такими функциями, что нелинейные уравнения интегрируются, то изучение устойчивости значительно упрощается. Чаще всего в качестве аппроксимации такого рода избирают кусочно-линейную аппроксимацию. Тогда в пределах каждого из прямолинейных участков ломаной дифференциальные уравнения становятся линейными и их можно интегрировать. Однако для разных участков кривых получаются различные уравнения н результаты необходимо сшивать на границах участков. Этот прием особенно удобен в сочетании с применением фазовой плоскости или фазового пространства. Тогда приходится находить уравнения фазовых траекторий в каждой из линейных областей и сшивать их на границах областей. [64]