Cтраница 1
Уравнения возмущенного движения составим в координатах гиг /, начало которых связано с положением устойчивого равновесия ползуна. [1]
Уравнения возмущенного движения могут быть выписаны в случае, если сами уравнения динамики построены в результате решения обратной задачи, при условии существования заданного интегрального многообразия. Здесь пионером был Исаак Ньютон, решивший обратную задачу динамики при открытии закона всемирного тяготения. Широко известны также работы Н.П. Еругина и его школы. [2]
Уравнения возмущенного движения ракеты в плоскости тангажа идентичны уравнениям движения в плоскости рыскания. [3]
Приведены уравнения возмущенного движения как в форме (1.10), так и ( 3), хотя канонические уравнения не были известны Лагранжу. Он следующими словами характеризует сущность метода: обычно первое решение ( в задачах механики) находят, принимая во внимание только главные силы, действующие на тела, а для того чтобы это решение распространить на другие силы, которые можно назвать возмущающими, проще всего сохранить форму первого решения, но рассматривать входящие в него произвольные постоянные как переменные величины. [4]
Если уравнения возмущенного движения имеют вид (3.11), то рассматриваемая динамическая система называется неавтономной, а ее движение - неустановившимся. При уравнениях возмущенного движения вида (3.12) система называется автономной, а ее движение - установившимся. Ниже рассматриваются только автономные системы. [5]
Если уравнения возмущенного движения не включают явно времени t, то невозмущенное движение будем называть установившимся, в противном случае - неустановившимся. [6]
Система уравнений возмущенного движения является нелинейной, причем характеристическое уравнение системы линейного приближения имеет два нулевых корня. В этом случае, как известно [ Ляпунов, 1892 ], строгое изучение устойчивости возможно только на основе рассмотрения полной нелинейной системы возмущенного движения. [7]
Система уравнений возмущенного движения ( 4) не является гамильтоновой, поэтому к ней нельзя применить теорему Мозера 14 ] о существовании формального знакоопределеиного интеграла. Вопрос о его существовании решает следующая теорема. [8]
К уравнениям возмущенного движения (6.40) приводятся все задачи на исследование устойчивости равновесия механических систем с голономными и стационарными связями и многие задачи на исследование устойчивости установившихся и стационарных движений механических, электрических и электромеханических систем. Не вдаваясь в анализ физической природы координат q и рассматриваемого явления, будем говорить, что значениям q 0 и, 0 отвечает равновесие системы, а уравнения (6.40) описывают возмущенное движение около положения равновесия. Поэтому, говоря об устойчивости равновесия системы, нужно помнить условный характер этого выражения - возможно, что на самом деле речь идет об устойчивости установившегося движения электромеханической системы. Точно так же нужно помнить условный характер употребляемого здесь слона сила. В действительности может оказаться, что члены уравнений (6.40), которые мы трактуем как силы, не представляют реальные силы, а получились в результате некоторых математических преобразований. [9]
Если для уравнения возмущенного движения (7.1) существует положительно определенная функция V ( t x), допускающая бесконечно малый высший предел и такая, что ее полная производная, составленная в силу уравнения (7.1), является знакопостоянной функцией знака, противоположного с V ( t x), и также допускающей бесконечно малый высший предел, то тривиальное решение (7.3) этого уравнения устойчиво. [10]
Если для уравнения возмущенного движения (7.1) существует положительно определенная функция V ( t x), допускающая бесконечно малый высший предел, полная производная которой, составленная в силу этого уравнения, есть функция f / ( t, х) отрицательно определенная, также допускающая бесконечно малый высший предел, то тривиальное решение уравнения (7.1) является асимптотически устойчивым. [11]
Если для уравнения возмущенного движения (7.4) можно найти функцию Ляпунова V ( x), для которой в сколь угодно малой окрестности начала координат существует область, где V 0, и если полная производная V в силу этого уравнения положительна во всех точках области V 0, то его тривиальное решение неустойчиво. [12]
Если для уравнения возмущенного движения (5.1) существует положительно определенная функция V ( t x), допускающая бесконечно малый высший предел, и такая, что ее полная производная, составленная в силу уравнения (5.1), является знакопостоянной функцией знака, противоположного с V ( t, ж), и также допускающей бесконечно малый высший предел, то тривиальное решение (5.3) этого уравнения устойчиво. [13]
Если для уравнения возмущенного движения существует функция Ляпунова V ( t, ж), допускающая бесконечно малый высший предел, такая, что ее полная производная, составленная в силу этого уравнения, является знакоопределенной функцией и при этом сама функция V ( t, х) в произвольно малой окрестности начала координат может принимать значения того же знака, что и V ( t, ж), то тривиальное решение x ( t) 0 уравнения неустойчиво. [14]
Если для уравнения возмущенного движения (5.4) можно найти функцию Ляпунова V ( ж), для которой в сколь угодно малой окрестности начала координат существует область, где V 0, и если полная производная V в силу этого уравнения положительна во всех точках области V 0, то его тривиальное решение неустойчиво. [15]