Cтраница 3
А и А -, так что при стремлении к диссоциационному пределу возможно появление отчетливой поляризации. Правда, стационарные возбужденные состояния должны описываться волновыми функциями, удовлетворяющими стационарному уравнению Шредингера, а потому такие функции должны учитывать симметрию гамильтониана и формально поляризации наступить не может. [31]
Это означает, что плотность вероятности не зависит от времени. Как известно, такие состояния системы являются стационарными, и поэтому уравнение (2.18) называется стационарным уравнением Шредингера. [32]
Эйге-на и Шустер ( Эйген, Шустер, 1982), Еп - их приспособленность. С точностью до знака потенциала E ( q) и собственных значений Еп уравнение (9.21) соответствует стационарному уравнению Шредингера ( Feistel, Ebeling, 1982), что позволяет использовать различные результаты квантовомеханических исследований. В качестве простого примера рассмотрим вопрос о том, какой из двух существующих максимумов функции E ( q) может быть реализован видом, обладающим более высокой приспособленностью, и, следовательно, в каком из максимумов сосредоточено распределение при t - оо. [33]
Уравнение (4.22) переводится в - представление. Если искать решение в виде F - - ехр ( - 2Et), то в - представлении получается стационарное уравнение Шредингера. Связанным состояниям ( Е С 0) соответствуют неустойчивые решения. Необходимое условие существования связанных состояний - наличие потенциальной ямы - выполняется, если 5 1 ( ср. [34]
Пусть имеется свободная квантовая система, гамильтониан которой явно от времени не зависит. Пусть в момент времени / 0 волновая функция ( функция состояния) имеет вид: W c Vt с2Ч2, где с, и с2 - некоторые постоянные, аЧ, и Ф2 удовлетворяют стационарному уравнению Шредингера для энергий Е и Е2, соответственно. [35]
Эти требования - более жесткие, чем те, что в действительности нужны для справедливости большей части результатов, о которых пойдет речь ниже. В то же время в некоторых ниже оговариваемых случаях мы налагаем более строгие ограничения на асимптотическое поведение функции и ( х), а именно требуем, чтобы она экспоненциально или даже быстрее стремилась к нулю Такая задача на собственные значения, или задача рассеяния, конечно, хорошо знакома каждому физику ( в особенности тем, кто изучал элементарную квантовую механику), но в дальнейшем мы будем подходить к ней просто как к математическому инструменту, игнорируя ее физический смысл; к тому же эволюционные уравнения, которые в конечном счете мы будем рассматривать, ничего общего не имеют с зависящим от времени уравнением Шредингера, которое в квантовой мех анике стоит за стационарным уравнением Шредингера ( 1) и дает соответствующий фон для любой интерпретации решений Уравнения ( 1), основанной на представлении об экспериментах с одномерным рассеянием. [36]
Для данной системы частиц, следовательно, при данном виде оператора Гамильтона решение уравнения ( 8 11) возможно лишь при некоторых дискретных значениях Е Е1 Ег... Возможные значения Ek называются собственными значениями оператора энергии. Волновые функции, являющиеся решениями стационарного уравнения Шредингера ( 8 11), носят название собственных функций системы. [37]
Уравнение (37.16) часто называют временным уравнением Шредннгера, так как оно содержит производную от функции Т по времени. Однако для большого числа физических явлений, происходящих в микромире, например для описания поведения электрона в атоме, важно уметь находить стационарные решения уравнения Шредингера, не содержащие времени. Для решения этой задачи нужно получить стационарное уравнение Шредингера, в котором исключена зависимость Ч от времени. [38]
В квантовой механике при переходе к молекулам формально представление об атомах, их образующих, не сохраняется. Теория оперирует лишь с определенными числами ядер ( с соответствующими зарядами) и электронов. Далее записывается оператор Гамильтона и решается временное или стационарное уравнение Шредингера. Здесь также вводится представление о парном взаимодействии, но поскольку в качестве составляющих молекулу частиц фигурируют уже не атомы, а ядра и электроны, то речь идет о парном взаимодействии именно ядер и электронов. Возникает довольно существенный разрыв между двумя теориями, что приводило и приводит к многочисленным попыткам ввести в квантовой теории представления об атомах в молекуле, т.е. представления, активно используемые современной химией, без которых она существовать фактически пока не может. Это обстоятельство влечет за собой и попытку объяснения того, как возникает то взаимодействие, которое принято называть химической связью. [39]
Из представлений о молекулярном строении вещества вытекает, что гомогенная реакция в идеальном газе происходит при столкновении двух или трех молекул соответствующих реагентов. Это столкновение, а также последующая реакция описывается квантовомеханическим уравнением Шредингера, в котором в качестве независимых переменных фигурируют координаты всех электронов и ядер, составляющих взаимодействующие молекулы. Если процесс столкновения достаточно медленный, так что решение нестационарного уравнения Шредингера пренебрежимо мало отличается от решения стационарного уравнения Шредингера и кинетическая энергия каждого ядра мала по сравнению с кинетической энергией электронов), то можно считать, что ядра движутся по поверхности потенциальной энергии. Величина этой энергии определяется состоянием движения электронов, которое соответствует мгновенному положению ядер. [40]
До 1990 г. было выполнено лишь небольшое число экспериментальных работ, в которых изучался квантовый хаос. Новый способ изучения хаоса волновых полей, и в том числе квантового хаоса, был предложен Штокманом ( Stockmann) и Штейном ( Stein) [80], которые исследовали электромагнитные колебания микроволнового диапазона в резонаторах неправильной формы - микроволновых полостях. Микроволновые биллиарды, как и биллиарды других типов, обсуждаемые в данной главе, подобны друг другу, поскольку все они описываются либо уравнением Гельмгольца, либо эквивалентным ему стационарным уравнением Шредингера. Является ли аналогия между классическими и квантовыми системами полной, зависит от соответствующих граничных условий. Отметим также, что рассматриваемые далее явления характерны для всех типов волн, и поэтому результаты аналоговых экспериментов с биллиардами имеют достаточно широкую область применимости. [41]
Г-1) обладает большим сходством с уравнениями нормальных колебаний классической теории колебаний, и на основании этого сходства можно построить полезную, хотя и ограниченную, физическую аналогию между классической механикой волн и квантовой механикой частиц. Поэтому полезно суммировать результаты теории колебаний в той форме, в которой они используются при решении стационарного уравнения Шредингера. [42]
Для уравнения (2.1.4) такая аналогия отсутствует. Пластины правильной формы относятся к классически интегрируемым системам, поскольку для них число степеней свободы равно числу интегралов движения. Так, например, для пластины круглой формы интегралами движения являются полная энергия Е и момент импульса L, а для прямоугольной пластины сохраняются квадраты проекций импульса ( рх и ру), параллельных ее сторонам. Таким образом, устанавливается связь между фигурами Хлад-ни, наблюдаемыми на пластинах неправильной формы, и решениями стационарного уравнения Шредингера в квантовых хаотических биллиардах. [43]
В общем случае функция у может иметь более сложную зависимость от времени. Это бывает, когда на молекулу наложено внешнее переменное электрическое или магнитное поле, когда происходит сближение молекул или атомов при химических реакциях и др. Решение уравнения Шредингера в таких ситуациях оказывается нередко очень сложным. Важно, однако, что имеются частные случаи, когда поиск решения существенно упрощается. Это относится, например, к случаю, когда атом или молекула взаимодействует с электромагнитным полем. Бора атом или молекула может изменить свое стационарное состояние и перейти в другое, также стационарное. Результат решения уравнения Шредингера позволяет найти вероятность такого перехода ( см. гл. В дальнейшем ограничимся проблемами, которые описываются стационарным уравнением Шредингера. [44]
Вот почему еще совсем недавно вопрос о том, стоит ли вообще употреблять термин квантовый хаос, оставался открытым. Это название, вероятно, более правильно отражало бы суть дела, однако оно не стало общепринятым. В наши дни понятие квантовый хаос объединяет круг задач, связанных с квантовомеханическим описанием систем, хаотических в классическом пределе. Этой точки зрения придерживается и автор данной книги. Дело в том, что уравнение Гельмгольца эквивалентно стационарному уравнению Шредингера, и поэтому большинство из обсуждаемых далее явлений имеет место для всех типов волн, включая и волны квантовомеханического происхождения. [45]