Cтраница 3
В предыдущих главах подробно рассматривались общие случаи анализа стохастических уравнений. Здесь лее мы более подробно с других позиций рассмотрим приближение дельта-коррелированного во времени гауссового случайного поля в стохастических уравнениях и обсудим физический смысл этого приближения, которое наиболее широко используется при решении практических задач. [31]
В предыдущих главах подробно рассматривались общие случаи анализа стохастических уравнений. Здесь же мы более подробно с других позиций рассмотрим приближение дельта-коррелированного во времени гауссового случайного поля в стохастических уравнениях и обсудим физический смысл этого приближения, которое наиболее широко используется при решении практических задач. [32]
В завершение пункта обсудим численный метод интегрирования системы линейных стохастических уравнений, в котором используется точная дискретизация по времени. [33]
Аналогичную идею используют по существу и при исследовании нелинейных стохастических уравнений методом моментов. Для того чтобы замкнуть цепочку уравнений для моментов, постулируют зависимость между моментами различных порядков, соответствующую выбираемому закону распределения. [34]
В режиме развитой генерации малость собственных шумов позволяет линеаризовать стохастические уравнения. [35]
Рассмотрим линейное ( дифференциальное, интегро-дифференци-альное или интегральное) стохастическое уравнение. В общем случае усреднение его по ансамблю реализаций флуктуирующих параметров не дает замкнутого уравнения для соответствующего среднего значения. Замкнутое уравнение можно получить с помощью перехода к дополнительному расширенному пространству, которое в большинстве случаев является бесконечномерным. Таким образом, можно перейти к линейному уравнению для средней величины, содержащему вариационные производные. [36]
Чтобы применить общую схему вывода уравнения Фоккера-Планка, нужно знать стохастические уравнения для всех независимых переменных. [37]
Применительно к задачам о динамических системах, движение которых подчиняется обыкновенным дифференциальным стохастическим уравнениям с гауссовыми флуктуациями параметров, используемый метод приводит к марковскому характеру решения задачи, а соответствующее уравнение для плотности вероятностей перехода имеет вид уравнения Фоккера-Планка. В книге подробно анализируются методы анализа этого уравнения и краевых условий для него, его решения с помощью интегральных преобразований и его условия применимости. В более сложных задачах, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных, этот метод приводит к обобщенному уравнению типа Фоккера-Планка в вариационных производных для характеристического функционала решения задачи. Для динамических систем с негауссовыми флуктуациями параметров предлагаемый метод также приводит к марковскому характеру решения. Плотность вероятностей решения соответствующих динамических стохастических уравнений удовлетворяет при этом замкнутому операторному уравнению. Так, для случая систем с флуктуациями параметров, имеющими пуассоновский характер, получаются интегро-дифференциальные уравнения типа уравнения Колмогорова-Феллера. [38]
Применительно к задачам о динамических системах, движение которых подчиняется обыкновенным дифференциальным стохастическим уравнениям с гауссовыми флуктуациями параметров, используемый метод приводит к марковскому характеру решения задачи, а соответствующее уравнение для плотности вероятностей перехода имеет вид уравнения Фоккера-Планка. В более сложных задачах, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных, этот метод приводит к обобщенному уравнению типа Фоккера-Планка в вариационных производных для характеристического функционала решения задачи. Для динамических систем с негауссовыми флуктуациями параметров предлагаемый метод также приводит к марковскому характеру решения. Плотность вероятностей решения соответствующих динамических стохастических уравнений удовлетворяет при этом замкнутому операторному уравнению. [39]
Рассмотрим линейное ( дифференциальное, интегро - дифференциальное или интегральное) стохастическое уравнение. В общем случае, усреднение его по ансамблю реализаций флуктуирующих параметров не дает замкнутого уравнения для соответствующего среднего значения. Замкнутое уравнение можно получить с помощью перехода к дополнительному расширенному пространству, которое в большинстве случаев является бесконечномерным. Таким образом можно перейти к линейному уравнению для средней величины, содержащему вариационные производные. [40]
В этой главе мы рассмотрим основные методы нахождения статистических характеристик решений стохастических уравнений. [41]
Уравнение (3.1.31) называется уравнением Ляпунова для исследования устойчивости в среднем квадратичном линейных стохастических уравнений. [42]
Исследования здесь проводятся с использованием подходов, основанных либо на решении волнового стохастического уравнения тем или иным методом возмущений, либо на решениях уравнений для статистических моментов поля. [43]
Его применение особенно целесообразно для исследования систем, модели которых описываются сложными стохастическими уравнениями. В случаях, когда из-за недостатка данных или сложности аналитическая модель не может быть построена, метод Монте-Карло является едва ли не единственным, позволяющим получить искомые оценки. [44]
Переход от уравнений (31.31) к уравнениям (31.37) аналогичен переходу от решения Стратоновича стохастических уравнений к решениям Ито. Близкие к утверждениям этого параграфа теоремы могут быть доказаны для самых различных других классов реализуемых входов, при разных входо-выходных соответствиях и по разному понимаемых интенсив ностях. [45]