Cтраница 3
Развитый функциональный подход позволяет также для определенного класса случайных процессов ( марковские процессы телеграфного типа, гауссов марковский процесс и т.п.) получать замкнутые уравнения для плотности вероятностей решения задач и с учетом конечности времени корреляции случайных воздействий. [31]
Прежде всего отметим, что в случае дельта-коррелированного случайного поля скорости от линейного уравнения (9.1), в отсутствие среднего потока, сравнительно легко перейти к замкнутым уравнениям как для средней плотности плавучей примеси, так и для ее высших многоточечных корреляционных функций. [32]
Qa и Рар с искомыми гидродинамическими полями, можно осуществить в ходе процедуры итерационного решения соответствующего кинетического уравнения [ в данном случае уравнения Больцмана (7.1.13) ], аналогично тому, как это было сделано в разделе 6.2 при выводе замкнутого уравнения для плотности числа броуновских частиц. [33]
Однако помимо этого непосредственного приложения развитый математический метод интересен и сам по себе, так как он дает общую запись гидромагнитного уравнения в виде (18.111) через начальные значения Xi лагранжевого преобразования координат x - xfjfp) Соуорд показал, что (18.111) - точное и замкнутое уравнение, никак не ограниченное малостью преобразования координат (18.117), вместе с которым оно рассматривается в приведенных здесь рассуждениях. Таким образом, (18.111) определяет изменение магнитного поля со временем в зависимости от начального положения Xk каждого элемента поля и жидкости. Этот способ теоретического исследования переноса и диффузии магнитного поля в Различных физических условиях только начинает разрабатываться. [34]
Следует отметить, что при выборе пуассоновских моделей далеко не последнюю роль играли следующие обстоятельства: возможность определения входных параметров модели из эксперимента и небольшая трудоемкость, в смысле затрат компьютерного времени, численного моделирования выборочных реализаций облачного поля, возможность вывода достаточно простых аналитических формул для статистических характеристик поля к ( г) и решения задачи о расщеплении корреляций, что необходимо при выводе замкнутых уравнений для моментов интенсивности. [35]
В теориях с локальными потенциалами можно очень просто избавиться от всех затравочных и ренормировочных констант в уравнениях ( 11), сделав в них нужное число вычитаний так, чтобы обратить в нуль их правые части. В результате получим замкнутые уравнения, которым удовлетворяют как неренормированные, так и ренормированные функции Грина. Итерируя эти уравнения должным образом, придем к диаграммным рядам ренорми-рованной теории возмущений; ренормированные параметры в решении появятся как вычитательные константы. [36]
Первое важное следствие можно получить, сравнив уравнение Больцмана ( И. Уравнение Больцмана является замкнутым уравнением для одночастичной функции распределения. [37]
Теперь мы видим, что член первого порядка в (8.3.1) через соотношения (7.5.18) и (7.5.19) связан с парным распределением и прямой корреляционной функцией, а функциональные производные более высокого порядка связаны с распределениями более высокого порядка. Если мы хотим получить замкнутое уравнение, содержащее только га2 ( г) и С ( г), то должны допустить, что разложение может быть оборвано после первого члена. Невозможно привести никаких других аргументов для обоснования этой процедуры. Выбор их требует большого искусства. Рассмотрим два примера такого выбора, которые оказались особенно успешными. [38]
Различные подходы к решению первой задачи были рассмотрены в гл. Хотя в-области теории построения замкнутых уравнений переноса для псевдоожиженного слоя к настоящему времени уже получено значительное число результатов, окончательное решение задачи о нахождении физически обоснованных, замыкающих соотношений для уравнений переноса отсутствует. Как уже говорилось в первых двух главах, замыкающие соотношения либо постулируют, либо находят на основе статистической теории псевдоожиженного слоя. Однако в рамках статистической теории псевдоожиженного слоя также приходится использовать ряд допущений. Эти допущения касаются, например, взаимодействия между газом и твердыми частицами и взаимодействия твердых частиц между собой. Поэтому существует необходимость дальнейшего развития теории, позволяющей построить замкнутые уравнения переноса для псевдоожиженного слоя с целью уточнения используемых в этой теории, допущений. [39]
Если исходная динамическая система содержит производные порядка выше первого ( например, оператор Лапласа), то уже невозможно получить замкнутое уравнение для соответствующей индикаторной функции. В этом случае можно получить только замкнутое уравнение в вариационных производных ( уравнение Хопфа) для функционала, среднее значение по ансамблю реализации которого определяет характеристический функционал решения соответствующего стохастического динамического уравнения. Рассмотрим такой переход на примерах уравнений в частных производных, рассмотренных в гл. [40]
Это соотношение служит для определения вероятностей колебательных переходов в экспериментах, в которых непосредственно измеряется время колебательной релаксации. Заметим также, что существование замкнутого уравнения для релаксации средней колебательной энергии системы гармонических осцилляторов в тепловом резервуаре связано с линейной зависимостью вероятностей одноквантовых колебательных переходов от колебательного квантового числа. [41]
Основная задача заключается в получении замкнутых уравнений для статистических характеристик таких систем и исследовании их решений с максимально возможной полнотой. [42]
Развитие теории переноса в псевдоожиженном слое должно включать решение двух основных задач. Первая задача заключается в формулировке замкнутых уравнений переноса ( и граничных условий для этих уравнений) для псевдоожиженного слоя. Вторая задача заключается в описании движения газовой и твердой фаз в псевдоожиженном слое, а также процессов тепло - и массопереноса на основе замкнутой системы уравнений переноса. [43]
Простота идеальных систем связана главным образом с тем, что их оператор Лиувилля диагоналей в любом из представлений, рассмотренных в гл. В результате эволюция каждой компоненты описывается замкнутым уравнением, не зацепляющимся с уравнениями для других компонент. [44]
Аналогичная связь между функциями G2 ( zv QX - zv) и G2 ( Qx) была использована также при рассмотрении случая динамического взаимодействия ( см. разд. Мы полагаем, что получающееся в итоге замкнутое уравнение Бете - Солпитера справедливо вплоть до поправок первого порядка - по запаздыванию. [45]