Cтраница 3
Следует подчеркнуть, что общность численных методов велика, так как ими можно воспользоваться для решения любого дифференциального уравнения. [31]
В связи с этим возникает потребность в построении общей теории дифференциальных уравнений, методы которой давали бы возможность судить о свойствах всех решений любого дифференциального уравнения только по его аналитической структуре и позволяли бы дать ответ на вопрос о существовании решения с заданными свойствами. Устанавливая условия, гарантирующие наличие решения, обладающего интересующими нас свойствами, общая теория дает также и методы приближенного, а иногда и точного построения этого решения. [32]
Применяя формулы ( 12), ( 13), ( 14) и ( 19) для нахождения оригинала функции, можно решить любое дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. [33]
Любую из формул Рунге - Кутта можно использовать для решения систем дифференциальных уравнений и, следовательно, для решения дифференциальных уравнений более высоких порядков, так как любое дифференциальное уравнение п-го порядка можно свести к п дифференциальным уравнениям первого порядка. [34]
Основной деталью всевозможных кинематических интегрирующих механизмов: планиметров, интегриметров, интерграфов, гармонических анализаторов и, наконец, интегрирующего устройства сложнейших дифференциальных анализаторов, громадных математических машин, решающих любое дифференциальное уравнение, является обыкновенное, но очень точно сделанное небольшое круглое колесо с заостренным или, наоборот, тщательно закругленным тонким и иногда рифленым краем. Мы рассмотрим прежде всего кинематику такого колесика и затем на нескольких примерах, не вдаваясь в детали конструкций, покажем, каким образом осуществляемые этим колесиком кинематические соотношения используются для различного рода задач интегрирования. [35]
Рассмотренные нами общий ( рис. 43) и частные ( рис. 44 и 46) случаи построения совмещенных моделей для одновременного получения нескольких коэффициентов влияния показывают, что совмещенная модель при любом дифференциальном уравнении линейной системы имеет простую повторяющуюся структуру. Это позволяет уменьшить вероятность случайной ошибки при наборе совмещенной модели на АВМ. [36]
Интегрирующий множитель уравнения ( 8) - такая функция KJC, у), что от умножения на нее оно обращается в уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель существует для любого дифференциального уравнения, но часто его трудно определить. [37]
В случае v ( x) kx требуется бесконечное время, чтобы проникнуть в особую точку: интегральные кривые сближаются экспоненциально. Не более чем экспоненциальное сближение интегральных кривых характерно для любых дифференциальных уравнений с дифференцируемым векторным полем ъ и служит причиной единственности. [38]
Теперь нам предстоит найти функцию /, которая удовлетворяет уравнению (17.13), иными словами, просто решить дифференциальное уравнение. К сожалению, не существует никаких общих, годных во всех случаях жизни методов решения любого дифференциального уравнения. [39]
Анализ работы забойного участка и основных кинематических соотношений водонефтяного потока проведен для условий Ромашкинского месторождения, но результаты и выводы применимы для большинства месторождений Урало-Поволжья и Западной Сибири. Параметры и эффективность работы забойного участка изучало значительное число исследователей; Все рассмотренные работы в конечном счете сводятся к определению относительной скорости движения фаз, так как в любое дифференциальное уравнение движения двух-трехфазного потока входят плотность смеси и гидравлический уклон ( потери), численно зависящие от относительной скорости фаз. Для того, чтобы более объективно подойти к определению относительной скорости рассмотрим кинематику движения водонефтяного пласта. В работе [3] уже отмечалось, что для К 5 0 МПа забойный участок представлен двумя фазами - вода и нефть, так как разгазирование в реальной скважине всегда запаздывает по сравнению со статическими условиями. [40]
Только что рассмотренный метод дает возможность вывести дифференциальные уравнения для потенциала, соответствующие любому данному распределению физических границ и неподвижных или подвижных зарядов. Вообще, как будет показано, необходимо делить раствор на несколько различных областей, в каждой из которых применимо или уравнение Лапласа или уравнение Пуассона. Тогда решения этих уравнений, так же как решение любого дифференциального уравнения, зависят от условий, которым подчиняются соответствующие параметры на границах областей, где применяются данные уравнения. [41]
Анализ работы забойного участка и основных кинематических соотношений водонефтяного потока проведен для условий Ромашкинского месторождения, но результаты и выводы применимы для большинства месторождений Урало-Поволжья и Западной Сибири. Все рассмотренные работы в конечном счете сводятся к определению относительной скорости движения фаз, так как в любое дифференциальное уравнение движения двух-трехфазного-потока входят плотность смеси и гидравлический уклон ( потери), численно зависящие от относительной скорости фаз. Для того, чтобы более объективно подойти к определению относительной скорости рассмотрим кинематику движения водонефтяного пласта. В работе [ 31 уже отмечалось, что для Р 5 0 МПа забойный участок представлен двумя фазами - i вода и нефть, так как разгазирование в реальной скважине всегда запаздывает по сравнению со статическими условиями. [42]
Из этих примеров легко видеть, что требуется почти что новый вид анализа, который позволит получать подобные операции в определенном порядке и расширить их применение; однако от этой цели мы пока что еще очень далеки. Но и то, что я выше изложил, имеет большое значение, поскольку это говорит об универсальности принципа интегрирования, упомянутого вначале: ведь именно с его помощью, применяя подходящие множители, оказались выполнимыми многие интегрирования, которые казались очень трудными и превосходящими возможности известных методов. В самом деле, я не заметил тогда, что каждый раз, когда получен полный интеграл любого дифференциального уравнения, то из него можно получить множитель, который делает это уравнение интегрируемым. Но такое заключение - никак не верно в том случае, когда интеграл является лишь частным. [43]
Дискретный аналог дифференциальных уравнений представляет собой алгебраические уравнения, связывающие значение Ф в некоторой группе узловых точек. Эти уравнения получаются из дифференциальных уравнений, описывающих изменение Ф, и, следовательно, этот аналог несет ту же физическую информацию, что и исходные дифференциальные уравнения, В дискретный аналог входят значения Ф только в некоторых узловых точках, что является следствием кусочного характера выбранных профилей. При этом значение Ф в некоторой узловой точке оказывает влияние только на распределение Ф в окрестностях этой точки. Предполагается, что при очень большом числе узлов решение дискретного аналога сближается с точным решением соответствуюшего дифференциального уравнения. Возможные дискретные аналоги любого дифференциального уравнения не единственны, однако, предполагается, что в пределе очень большого числа узловых точек все типы дискретных аналогов дают одно то же решение. Возможные отличия в решениях являются следствием различных предположений о характере профиля зависимой переменной и способов получения аналогов. [44]
В самом деле, L ( WJ) как левая часть уравнения равновесия представляет собой равнодействующую всех внешних и внутренних сил, приложенных к элементу оболочки, в свою очередь fi представляет собой возможное перемещение. Таким образом, условие (2.2) выражает приближенно равенство нулю работы внешних и внутренних сил на возможном перемещении. При этом предполагается, что функции / - удовлетворяют всем граничным условиям. Если это не так, то условие (2.2) имеет более сложный вид (4.3) гл. С позиций ортогонализации метод Бубнова, вообще говоря, не связан с вариационной задачей и применим к любым дифференциальным уравнениям. [45]