Cтраница 3
Естественно, можно прямо проинтегрировать (19.21) и получить последующие заключения значительно более простым путем. Однако желательно разработать здесь более комплексный подход к целой совокупности задач, которые совершенно аналогичны-как будет видно - проблемам, возникающим при рассмотрении эллиптических дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. [31]
Часто можно получить грубые оценки минимальных поверхностей в виде так называемых теорем вложения. Во многих случаях эти результаты можно рассматривать как более или менее изощренные формы принципа максимума для гармонических функций или, более общо, для решений эллиптических дифференциальных уравнений. [32]
Такие задачи возникают, например, в связи с исследованием устойчивости при случайных возмущениях, когда основной интерес представляет вероятность выхода из окрестности устойчивого положения равновесия или предельного цикла за какое-то фиксированное время, или вычисление среднего времени выхода из такой окрестности. Подобные задачи возникают, как мы увидим, при изучении предельного поведения инвариантной меры диффузионного процесса X при е - - 0, в связи с исследованием эллиптических дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных и в других вопросах. [33]
Рассматривается задача аппроксимации линейного оператора S: В - 2 для единичного шара в В. При заданном линейном операторе М: Rm - 2 оператор S аппроксимируется оператором MQN, где Q - матрица размера пхт. Для фиксированных п и т изучается проблема оптимального выбора Q, M и N. Результаты иллюстрируются на примере параболических и эллиптических дифференциальных уравнений. [34]
Единственность решения задачи Коши может быть доказана для гораздо более широкого класса операторов. Наиболее сильный результат здесь был получен А. П. Кальдероном в работе [ 1 Этот результат обобщался в дальнейшем в работах К. Мы также-приводим здесь некоторое обобщение их результатов. Карлемана которыми он пользовался при изучении задачи Коши для эллиптических дифференциальных уравнений. [35]
Общее представление решений дифференциальных уравнений в частных производных эллиптического типа, линейных относительно оператора Лапласа, Труды Тбил. Граничные задачи теорем линейных эллиптических дифференциальных уравнений с двумя независимыми переменными, Сообщ. Об аппроксимации решений эллиптических дифференциальных уравнений, Сообщ. Замечания об общем представлении решений дифференциальных уравнений эллиптического типа, Сообщ. [36]
Например, в [39] при рассмотрении задач о тонких включениях и трещинах используются наряду с сосредоточенными силами особенности типа диполя. Описанный способ приводит, вообще говоря, к сингулярным ИУ. Метод особенностей позволяет получить и регулярные ИУ. Рассмотрим совокупность плоскостей, касающихся данного тела. Поместим в точке М сосредоточенную силу Рм и вычислим напряжения и ( или) смещения, возникающие при этом на месте границы 5 тела в полупространстве, ограниченном плоскостью Ям. Проделав аналогичные вычисления при перемещении точки М по поверхности S и просуммировав вклады, соответствующие различным положениям касательной плоскости, придем, используя граничные условия, к регулярным ИУ по границе S тела относительно распределения сосредоточенных сил. Подобный способ применяется при сведении к регулярным ИУ краевых задач для систем эллиптических дифференциальных уравнений общего вида и называется обычно методом полуплоскостей или методом замораживания. [37]