Cтраница 3
Возьмем любые N уравнений моментов и выразим все входящие в них моменты и интегралы / ф через выбранные N моментов Ма. Таким образом, мы получаем Л / совместных дифференциальных уравнений для N моментов. [31]
На практике случай, когда физическая система описывается несколькими совместными дифференциальными уравнениями, встречается наиболее часто. Тем не менее мы рекомендуем читателю, интересующемуся только такими физическими системами, тщательно ознакомиться с рассуждениями, изложенными в § 10 - 14 и относящимися к одному-единственному дифференциальному уравнению, так как это облегчит понимание дальнейших сведений о решении систем совместных дифференциальных уравнений. [32]
Если известны все концентрации и температуры на одном конце слоя насадки, то можно в принципе применить уравнения (9.155) - (9.159) к системе последовательных тонких слоев насадки и таким образом установить профили концентраций в газе и жидкости или профиль температуры в насадке. Если некоторые из концентраций или температур на концах неизвестны, то их необходимо определить с помощью общих тепловых и материальных балансов. Иногда численного интегрирования совместных дифференциальных уравнений можно избежать путем вычисления только скоростей изменения температур и концентраций в верхней и нижней частях насадки; затем можно очень грубо оценить полные профили. [33]
Когда процесс понят в такой степени, что можно уже записать математическую модель, часто обнаруживается, что модели даже для малых участков исключительно сложны. Например, для описания одной дистилляционной колонны может потребоваться несколько сотен совместных нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Для описания теплообменника требуется большое количество совместных дифференциальных уравнений в частных производных. Однако режим работы такого оборудования часто сравнительно прост, и можно ожидать, что описание окажется более экономичным. Здесь существует потребность в общих методах упрощения систем уравнений с учетом существенных особенностей решения. Если уравнения являются совместными обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, то часто упрощение можно сделать с учетом типа системы. Другой метод позволяет заменить системы совместных гиперболических дифференциальных уравнений в частных производных одним параболическим уравнением. Третий метод дает возможность при соответствующих условиях представить параболическое дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных разностной аппроксимацией первого порядка. [34]
Новое издание отличается от предыдущего, если не считать многочисленных отдельных изменений, прежде всего использованием теории распределений, к чему меня побудили неоднократные просьбы инженерных кругов. Теория распределений, краткие сведения о которой даны в добавлении в конце книги, позволяет в первую очередь строго рассмотреть понятия импульса и его производных, понятия, необходимые для техники, но не укладывающиеся в рамки классической математики. Кроме того, использование теории распределений неизбежно при решении систем совместных дифференциальных уравнений в том наиболее частом для практики случае, когда заданные начальные условия несовместимы со структурой рассматриваемой системы, и поэтому полученные решения не могут удовлетворять этим условиям. [35]
Возьмем простую балку АВ, нагруженную тремя грузами QJ, Q2 и Q3, подвешенными на жестких нитях, как показано на фиг. При вертикальных колебаниях такая система имеет три степени свободы, а следовательно, и три частоты свободных колебаний. Исследование колебаний системы с тремя степенями свободы, как известно, производится с помощью трех совместных дифференциальных уравнений. [36]
Когда число Льюиса нельзя принять равным единице, то рассматриваются дифференциальные уравнения ( 4) и ( 5); уравнение ( 9) недействительно. Уравнение ( 4) в действительности представляет собой ряд уравнений, каждое для определенной химической компоненты. Теперь все эти уравнения должны решаться совместно ибо nij связано с ть. Отсюда следует, что расчет интенсивности теплоотдачи q L по уравнению ( 10) будет включать решение ряда совместных дифференциальных уравнений, связанных нелинейными соотношениями химической кинетики. [37]
Они дают возможность решить и обе основные задачи динамики точки. В прямой задаче, когда кинематические уравнения движения ( 5) даны, решение сводится к дифференцированию этих уравнений: умножив на массу вторую производную от координаты по времени, получим проекцию силы. В обратной задаче, когда заданы проекции силы X, У и Z, а нужно определить координаты точки х, г /, и z как функции времени, решение сводится к интегрированию трех совместных дифференциальных уравнений, где независимым переменным является время. [38]