Cтраница 1
Линейное эллиптическое уравнение называется вырожденным, если в некоторой части области его определения квадратичная форма Sai / kXjXft является не положительно определенной, а полуопределенной. Изучение таких уравнений интересно прежде всего с точки зрения теории параболических уравнений или уравнений смешанного типа и поэтому выходит за пределы этой книги. Оставаясь в области эллиптических уравнений, мы ограничимся упоминанием двух работ Келдыша [2] и Олейник [7], которые касаются некоторых уравнений, вырождающихся на границе области. [1]
Для линейных эллиптических уравнений с аналитическими коэффициентами, у которых, следовательно, нет действительных характеристик, из георемы Хольмгрена следует, что если два решения этого уравнения совпадают вместе со всеми их частными производными до ( п - 1) - го порядка на некотором ( р - - мерном куске действительной поверхности, то они совпадают всюду. Аналогичные следствия вытекают из теоремы Карлемана для неаналитических уравнений с частными производными по двум независимым переменным. [2]
Всякое решение линейного эллиптического уравнения с аналитическими коэффициентами, принадлежащее классу О, аналитично. [3]
Определяя для линейного эллиптического уравнения 2-го порядка с переменными коэффициентами соответствующую метрику, Феллер [ 291 перенес многие теоремы о гармонических функциях на функции, удовлетворяющие этим эллиптическим уравнениям. [4]
Обычно теорема Лиупплля для линейных эллиптических уравнений получается как следствие неравенства Харнака. При наиболее общих предположениях о коэффициентах она доказана в работе Мозера [67] для линейных эллиптических уравнений второго порядка дивергентного вида и в работе Крылова и Сафонова [68] для уравнений неднвергептного вида, при этом предполагается, что уравнение содержит только старшие члены. [5]
Кульминация теории классических решений линейных эллиптических уравнений второго порядка достигается в теории Шаудера, которая в модифицированном и обобщенном виде представлена в гл. По существу, эта теория распространяет результаты теории потенциала на класс уравнений вида (1.1) с коэффициентами, непрерывными по Гельдеру. Это осуществляется с помощью простого, но фундаментального способа рассматривать уравнение локально как возмущение уравнения с постоянными коэффициентами, получающегося замораживанием старших коэффициентов в выделенной точке. [6]
В этой главе развивается теория линейных эллиптических уравнений второго порядка, которая является, по существу, развитием теории потенциала. Она основана на том фундаментальном наблюдении, что уравнения с непрерывными по Гельдеру коэффициентами можно локально рассматривать как возмущения уравнений с постоянными коэффициентами. Из этого факта Шаудер [346, 347] смог построить глобальную теорию, развитие которой излагается здесь. Основой для такого метода являются априорные оценки решений, являющиеся обобщениями оценок теории потенциала на случай уравнений с коэффициентами, непрерывными по Гельдеру. Эти оценки обеспечивают возможность получения результатов о компактности, существенных для теории существования и регулярности, и, поскольку они применимы и к классическим решениям при относительно слабых предположениях о коэффициентах, они играют важную роль в последующей нелинейной теории. [7]
Теоремы типа Фрагмена - Линделефа для линейного эллиптического уравнения 2-го порядка, Матем. [8]
Теорема представления Рисса достаточна для рассмотрения линейных эллиптических уравнений, появляющихся из вариационных задач, т.е. являющихся уравнениями Эйлера - Лагранжа некоторых кратных интегралов. Для исследования общих уравнений дивергентной формы нам потребуется некоторое обобщение теоремы 5.7, данное Лаксом и Мильграмом. [9]
Статьи [3, 4] посвящены так называемым некоэрцитивным задачам для линейных эллиптических уравнений. [10]
Оно основано на применении строгого принципа максимума для линейных эллиптических уравнений. [11]
Известно, например, что все регулярные решения линейного эллиптического уравнения 2-го порядка имеют ограниченные производные до / с-го порядка, если все коэффициенты этого уравнения и свободный член имеют ограниченные производные до / с-го рорядка. [12]
Изложенный метод доказательства существования решения задачи Дирихле для линейного эллиптического уравнения второго порядка с гельдеровыми коэффициентами с помощью продолжения по параметру ( восходящий к С. Н. Бернштейну) является традиционным ( см., например, книгу Я. [13]
Во-вторых, в этой главе развивается / р-теория линейных эллиптических уравнений второго порядка, аналогичная теории Шаудера, изложенной в гл. Основная оценка для решений уравнения Пуассона - неравенство Каль-дерона - Зигмунда ( теорема 9.9) - получается из интерполяционной теоремы Марцинкевича без применения методов преобразования Фурье. [14]
Метод гильбертова пространства или вариационный подход к задаче Дирихле для линейных эллиптических уравнений имеется уже в работах Гильберта [69] и Лебега [155] об уравнении Лапласа. Этими авторами доказана альтернатива Фредгольма ( теорема 8.6), однако их результаты по проблеме существования и единственности более слабые, нежели изложенные здесь, из-за наличия условий малости и коэрцитивности. В своем изложении мы следовали доказательству Трудингера [288], имеющему то преимущество, что оно легко переносится на неравномерно эллиптические уравнения. При справедливости альтернативы Фредгольма теорема существования ( теорема 8.3) является непосредственным следствием слабого принципа максимума. [15]