Cтраница 3
Настоящая глава посвящена прежде всего оценкам производных ньютонова потенциала. Эти оценки не только позволяют получать теоремы разрешимости классической задачи Дирихле для уравнения Пуассона, но и образуют основу шаудеровского и опирающегося на теорию потенциалов подходов к изучению линейных эллиптических уравнений, рассмотренных в гл. [31]
Курант 31 и независимо от него С. А. Христианович дали новое простое доказательство теоремы Гильберта-Бернштейна. На этой же идее были основаны работы Жевре и Жиро. Они доказали аналитичность всех непрерывных решений линейного эллиптического уравнения, у которого все коэффициенты и правая часть аналитичны. [32]
Необходимая линейная теория развита в гл. Хотя этот материал интересен сам по себе, особое внимание здесь уделено тем аспектам теории, которые необходимы для изучения нелинейных задач. Поэтому теория делает акцент на слабые условия о коэффициентах и не затрагивает многих важных классических и современных результатов о линейных эллиптических уравнениях. [33]
В работах [43, 26, 34, 48] были доказаны также так называемые ослабленные лиувиллевские теоремы, в которых кроме априорного ограничения роста самой функции на бесконечности требуется еще и ограниченность роста градиента. В работах [39, 44] были установлены двусторонние теоремы лиувиллевского типа для некоторых классов эллиптических систем недивергентного-вида, однако в данной монографии лиувиллевские теоремы для эллиптических систем не излагаются. Мы не упоминаем здесь большого цикла работ по лиувиллевским теоремам для линейных эллиптических уравнений и систем и для квазилинейных эллиптических уравнений дивергентного, вида, в которых используется другая методика их получения. [34]