Cтраница 1
Автономное уравнение ( 4) заменой Z ( F) ( F z) 2 приводится к линейному уравнению первого порядка. [1]
Линейные автономные уравнений - едва ли не единственный большой класс дифференциальных уравнений, для которых имеется полная теория. Эта теория, являющаяся, в сущности, ветвью линейной алгебры, позволяет полностью решить все линейные автономные уравнения. [2]
Единственным автономным уравнением является последнее, которое представляет само уравнение Лиувилля. N - 1) - е уравнение содержит FN - t и FN. Если уравнение Лиувилля решено для FN, то в принципе ( N - 1) - е уравнение можно решить для jF - i - После того как FN найдена, ( N - 2) - е уравнение является тогда уравнением для единственной неизвестной FN 2 и в принципе также может быть решено. Таким образом, после того как мы найдем FN, оставшуюся систему ББКГИ-уравнений можно последовательно решить для распределений более низкого порядка. [3]
Пусть автономное уравнение z F ( z) имеет ш-периодич. [4]
Решения автономных уравнений обладают следующим важным свойством. Если g ( 0 - решение уравнения (1.10) с областью определения / и областью значений g ( /), то т ] ( /) ( С) при любом действительном С также является решением с той же областью значений и с областью определения. [5]
Для автономных уравнений глобальные функции Ляпунова строили И. Метод доказательства теоремы 3.1.3 путем склеивания функций Ляпунова здесь публикуется впервые. [6]
Случай автономных уравнений рассматривается в этой главе отдельно по нескольким причинам. Во-первых, в этой постановке довольно просто получаются сильные результаты. Во-вторых, существенно используется свойство инвариантности предельных множеств - для неавтономных систем это свойство может быть сохранено только частично и за счет дополнительных предположений. И наконец, для автономных уравнений существуют очень хорошие и важные иллюстрирующие примеры, в то время как для неавтономных систем это не совсем так. Правда, многие значительные теоретические результаты, касающиеся неавтономных систем, являются более недавними. [7]
Для автономных уравнений наиболее важным свойством предельных множеств является их полуинвариантность. [8]
Решение автономного уравнения х - v ( x ] с начальным значением из любого компакта фазового пространства продолжается вперед ( назад ] либо неограниченно, либо до границы этого компакта. [9]
Порядок автономного уравнения ( 1) может быть понижен на единицу. Если известно частное решение уравнения ( 1), то соответствующее ему уравнение ( 2) подстановкой Н ( у) G y сводится к линейному уравнению второго порядка. [10]
Порядок автономного уравнения ( 14) может быть понижен на единицу. [11]
Даже для автономных уравнений наблюдается много неожиданных результатов. Так, легко показать, что из устойчивости следует равномерная устойчивость. С другой стороны, может иметь место асимптотическая устойчивость и отсутствовать равномерная асимптотическая устойчивость. Это вытекает из того, что равномерная асимптотическая устойчивость эквивалентна экспоненциальной асимптотической устойчивости. Такая система не может быть равномерно асимптотически устойчива. Они указали пример линейного НФДУ, имеющего неограниченные решения, хотя все его собственные значения простые и лежат на мнимой оси. Если оператор D устойчив, то для линейных автономных и периодических уравнений можно получить такие же соотношения между различными видами устойчивости, как и для ЗФДУ. [12]
Теорема 4.5. Если автономное уравнение имеет периодическое решение ( не тождественно постоянное), которому соответствует простое изолированное собственное число оператора монодромии уравнения в вариациях, а остальной спектр этого оператора лежит внутри единичного круга и не окружает нуля, то указанное периодическое решение орбитально асимптотически устойчиво и, более того, каждое достаточно близкое к его траектории решение обладает асимптотической фазой. [13]
В частности, автономное уравнение с n - мерным фазовым пространством имеет в окрестности любой ( не обязательно неособой) точки п зависящих от времени функционально независимых первых интегралов. [14]
В частности, автономное уравнение ( 2) с n - мерным фазовым пространством в окрестности любой ( не обязательно неособой) точки имеет п зависящих от времени функционально независимых первых интегралов. [15]