Cтраница 3
Итак, если К есть характеристическое число ядра К ( t, s), то однородное интегральное уравнение ( 15) и сопряженное с ним уравнение ( 27) имеют одно и то же конечное число линейно независимых собственных функций. [31]
Таким образом, числа X и функции р уравнения ( 2) оказываются характеристическими числами и характеристическими функциями однородного интегрального уравнения ( 5) с симметричным ядром. [32]
Неразрешимость задачи с нулевым скачком (17.4) при дополнительном условии Ф - ( оо) 0 повлечет за собой неразрешимость соответствующего однородного интегрального уравнения, что и лежит в основе всего исследования. [33]
Нетрудно проверить, что т / ( ж) Се - гШ1Х, где С - произвольная константа, является решением однородного интегрального уравнения. Действительно, подставляем у Се - гШ1Х в уравнение, делим соотношение на е-гшгх и переносим слагаемые в одну часть. [34]
Легко видеть, что если k2 Xm, где hm - - некоторое собственное значение оператора Лапласа внутренней задачи Неймана, то однородное интегральное уравнение (8.28) имеет нетривиальное решение. [35]
Эта задача, как говорилось выше, была поставлена Милном для расчета переноса излучения в серой атмосфере, но формально она свелась к однородному интегральному уравнению, описывающему изотропное консервативное рассеяние в полубесконечной среде с источниками на бесконечно большой глубине. По аналогии задачей Милна называют и все случаи, когда источники в полубесконечной среде бесконечно удалены от границы независимо от значения вероятности выживания фотона и индикатрисы рассеяния. Во всех таких случаях функция источников определяется однородным интегральным уравнением. [36]
Фредгольма второго рода необходимо и достаточно, чтобы неоднородный член ( в нашем случае ненулевая левая часть любого из уравнений ] был ортогонален ко всем решениям соответствующего однородного интегрального уравнения. Нетрудно убедиться в том, что условия разрешимое для уравнений (3.4.26), (3.4.27), (3.4.29) выполнены. [37]
Если теперь рассмотреть те значения величины X, для которых определитель Dk ( К) интегрального уравнения равен нулю ( характеристические значения), то можно показать, что однородные интегральные уравнения, полученные из ( 1) при г ( х) 0, имеют решения ф / ( х), которые не равны тождественно нулю ( характеристические функции); поэтому уравнение ( 6), если оно вообще имеет решение, допускает не одно, а бесконечно много решений. [38]
Мы видим, что значения ty ( я), принимаемые гармонической функцией г) на границе ( значения, которые полностью определяют ее), суть значения функции, удовлетворяющей однородному интегральному уравнению ( 1), ядро которого, однако, в точке к хг обращается в бесконечность. [39]
К интегральным операторам и уравнениям применимы все определения и факты, изложенные в § § 1.10 - 1.12. Кроме того оказывается полезным следующее определение: то комплексное значение К, при котором однородное интегральное уравнение ( 3) имеет ненулевые решения из S. G), называется характеристическим числом ядра ПК ( х, у), а соответствующие решения - собственными функциями этого ядра, соответствующими этому характеристическому числу. & ( х, у) и собственные значения оператора К взаимно обрагны, а их собственные функции совпадают. [40]
К интегральным операторам и уравнениям применимы все определения и факты, изложенные в § § 1.10 - 1.12. Кроме того, оказывается полезным следующее определение: то комплексное значение X, при котором однородное интегральное уравнение ( 3) имеет ненулевые решения из S 2 ( G), называется характеристическим числом ядра X ( х, у), а соответствующие решения - собственными функциями этого ядра, соответствующими этому характеристическому числу. Таким образом, характеристические числа ядра УС ( х, у) и собственные значения оператора К взаимно обратны, а их собственные функции совпадают. [41]
Самосопряженную задачу на собственные значения (4.28), (4.14), для которой А, 0 не является собственным значением и функция gn ( x) в основном интервале а, Ь имеет постоянный знак, при помощи функции Грина можно трансформировать в линейное однородное интегральное уравнение второго рода с вещественным симметричным непрерывным ядром. При дополнительных предпосылках (7.5) можно также, обратно, из каждого решения интегрального уравнения, согласно (7.6), построить собственную функцию задачи одночленного класса. [42]
В итоге доказана следующая важная 1-я спектральная теорема: все характеристические значения уравнения (1.33) вещественны, е интервале ( - /, 1) нет характеристических значений; значение Ji0 - / не является характеристическим; К0 / - характеристическое значение, а соответствующая ему собственная функция совпадает с распределением плотности электрического заряда по поверхности S уединенного проводника; число линейно независимых решений однородного интегрального уравнения (1.33) при К / равно единице. [43]