Cтраница 1
Тензорное уравнение (5.124) содержит шесть скалярных величин. [1]
Тензорное уравнение ( 29) эквивалентно шести уравнениям для компонентов. [2]
Тензорное уравнение, справедливое в одной системе координат, справедливо и в любой другой системе координат. [3]
Решить тензорное уравнение: хах А - Аа аха, где ха - неизвестный вектор, а вектор А и скаляр а заданы. [4]
Но это тензорное уравнение будет справедливо уже и в любой системе координат, и поэтому (25.8) имеет место. [5]
Важной особенностью тензорных уравнений является их инвариантность. [6]
Вследствие инвариантности тензорных уравнений для доказательства их справедливости достаточно сделать проверку в каком-нибудь одном, по возможности удобном базисе. Это простое соображение будет часто применяться в дальнейшем. [7]
Использованный здесь прием составления тензорного уравнения в локально-геодезической координатной системе, с последующим заключением о том, что оно справедливо и в общем случае, может значительно облегчить выкладки. [8]
Теперь ясно, что все тензорные уравнения, записанные в прямоугольной декартовой системе координат и содержащие обычные производные тензорного поля, при переходе к ортогональным криволинейным координатам перейдут в точно такие же уравнения, в которых вместо обычных производных будут стоять абсолютные производные. [9]
Физические законы механики сплошной среды выражаются тензорными уравнениями. Вследствие линейности и однородности тензорных преобразований тензорные уравнения, верные в одной системе координат, верны и в любой другой. Такая инвариантность тензорных соотношений относительно преобразований координат является одной из основных причин того, что тензорное исчисление весьма полезно в изучении механики сплошной среды. [10]
Напомним, что при наличии в каждой части тензорного уравнения нескольких тензоров-сомножителей их дифференцирование по скалярному параметру t осуществляется по обычным правилам дифференцирования произведений функций. [11]
Следует иметь в виду, что это выражение представляет собой тензорное уравнение. [12]
Поэтому естественно стремление формулировать все физические законы в форме тензорных уравнений, которые справедливы для всех координатных систем. Эта так называемая ковариантная формулировка следует в общем случае из тензорного анализа ( называвшегося ранее, абсолютным дифференциальным исчислением), причем ограничения на декартовы координаты отпадают. [13]
Преимущества тензорного исчисления там, где они имеют место, связаны прежде всего с возможностью записывать тензорные уравнения в инвариантной форме, не зависящей от выбора системы координат. Приступая к построению тензорного анализа, необходимо прежде всего связать с дифференцированием тензоров операцию тензорного характера. Будем предполагать в этом параграфе, что класс функций соответствует порядку дифференцирования. Этот факт является исключительным. Так, например, частные производные вектора не определяют тензора. Операция тензорного характера, обобщающая обычное дифференцирование, может быть введена неоднозначно. [14]
Полученные в декартовых координатах шесть скалярных уравнений Бельтрами (4.55), определяемых формулой (4.54) можно записать одним тензорным уравнением. [15]