Cтраница 2
Возведение в квадрат дает лишь следствие, а не равносильное уравнение. [16]
При решении уравнений рекомендуется делать преобразования, приводящие к равносильным уравнениям; если же это затруднительно, и в процессе преобразований могут появиться лишние корни, то необходимо делать проверку. [17]
Уравнения, имеющие одни и те же корни, называют равносильными уравнениями. Уравнения, не имеющие корней, также считают равносильными. [18]
Естественно возникает вопрос: в каких случаях рассматриваемое преобразование приводит к равносильному уравнению ( как это было в примере 24) и, следовательно, применение этого преобразования не требует последующей проверки корней. [19]
Заметим, что если при решении некоторого уравнения мы заменяем его другим, равносильным уравнением, то, находя корни второго уравнения, мы тем самым найдем корни первоначального уравнения. [20]
Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получим равносильное уравнение. [21]
Имеют место следующие свойства уравнений, справедливость которых вытекает из соответствующих свойств равенств и понятия равносильных уравнений. [22]
Так как эти формулы справедливы для любых значений аргумента, то все проводимые преобразования уравнений приводят к равносильным уравнениям. Поэтому в настоящем параграфе часто даже не пишутся слова о равносильности уравнений. [23]
В процессе решения применяются тождества и алгебраические преобразования, позволяющие на каждом шаге заменить данное уравнение либо равносильным уравнением ( это может быть система или же совокупность, куда входят неравенства), либо следствием. Решение уравнения состоит в последовательности таких шагов, приводящей уравнение к простейшему виду, когда слева стоит неизвестное, а справа - выражение, не содержащее неизвестных. Если все преобразования исходного уравнения были равносильными, то найденные значения неизвестного образуют в совокупности решения данного уравнения. Если же при преобразованиях имел место переход к следствию, то решение уравнения еще не закончено. [24]
Из этих определений следует, что уравнение-следствие может иметь и другие корни, кроме корней исходного, а равносильные уравнения имеют одни и те же корни. Одни и те же два уравнения могут быть равносильными или неравносильными в зависимости от того, на каком множестве чисел они рассматриваются. [25]
Если обе части уравнения умножить на одно и то же число ( кроме нуля), то получим равносильное уравнение. [26]
Можно сказать, что равносильные уравнения имеют одни и те же корни, или, иначе, множества корней равносильных уравнений совпадают. Поэтому, заменяя уравнение ему равносильным, мы получаем уравнение с теми же корнями, но решение его может оказаться проще. [27]
Итак, мы доказали, что при переносе любого слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком получается равносильное уравнение. [28]
Тождественное преобразование одной из частей уравнения и перенос членов из одной части уравнения в другую с противоположным знаком приводят к равносильному уравнению, если при этом не происходит изменения ОДЗ. [29]
Иначе говоря, использование промежуточной аппроксимации объекта с помощью графиков типа рис. 13 - 6 может рассматриваться как специальный прием построения равносильного уравнения ( 13 - 28), использующий некоторую априорную информацию о динамике объекта, что естественно, позволяет улучшить сходимость итерационной процедуры. [30]