Линейное уравнение - перенос
Cтраница 1
Линейное уравнение переноса решалось по схемам уголок, уголок с вычитанием аппроксимационной вязкости, Лакса-Вендроффа, двухточечной, схемам третьего и четвертого порядков точности, предиктор-корректор типа (11.47), (111.48), а также по предложенной в работе [34] схеме с квадратичной интерполяцией и экстраполяцией значений на границах ячеек. [1]
Рассматривая линейное уравнение переноса, мы предполагали, что точное решение задачи является гладкой функцией, причем при построении разностных схем требовалась еще ее дифференцируемость нужное число раз. [2]
Исследованные выше схемы для линейного уравнения переноса были явными, - при записи разностных производных по пространству в этих схемах использовались значения разностного решения с предыдущего ( нижнего) временного слоя. [3]
Рассмотрим теперь другой важный класс линейных уравнений переноса, а именно, - линейные гидродинамические процессы. Исторически гидродинамика развивалась как наука о макроскопических движениях в газах и жидкостях. В настоящее время термин гидродинамика используется в более широком смысле, так как многие процессы в самых различных системах описываются уравнениями, структура которых аналогична уравнениям гидродинамического переноса в жидкостях и газах. [4]
 |
Разрывное решение Теорема. Явная двухслойная разностная схема вида. [5] |
Можно также показать, что для линейного уравнения переноса такие схемы могут иметь только первый порядок точности. Схемы высших порядков точности не являются монотонными. На рис. 8.16 штриховой линией отмечено решение, которое может быть получено сквозным счетом с использованием схемы второго порядка. Здесь наблюдается нарушение монотонности сеточной функции. [6]
Итак, анализ семейства схем для линейного уравнения переноса с помощью метода дифференциального приближения показывает, что эти схемы обладают внутренними диссипативными свойствами. Это приводит к размазыванию, искажению разностного решения. Величина коэффициента схемной вязкости зависит не только от шагов сотки, по и определяется способом аппроксимации производных. При этом симметричные аппроксимации порождают более слабую схемную диссипацию. [7]
 |
Шаблон для двумерного уравнения. [8] |
Все рассмотренные выше разностные схемы решения линейного уравнения переноса называются схемами бегущего счета. Они позволяют последовательно находить значения сеточной функции в узлах разностной сетки. [9]
Можно также показать, что для линейного уравнения переноса такие схемы могут иметь только первый порядок точности. Схемы высших порядков точности не являются монотонными. На рис. 59 штриховой линией отмечено решение, которое может быть получено сквозным счетом с использованием схемы второго порядка. Здесь наблюдается нарушение монотонности сеточной функции. [10]
 |
Шаблон для двумерного уравнения. [11] |
Все рассмотренные выше разностные схемы решения линейного уравнения переноса называются схемами бегущего счета. Они позволяют последовательно находить значения сеточной функции в узлах разностной сетки. [12]
Предварительно поясним идейную сторону вопроса на простом примере одного линейного уравнения переноса с постоянным коэффициентом. Результаты анализа устойчивости разностных схеи для этого уравнения, полученные здесь с помощью энергетического метода, будут сопоставлены с условиями устойчивости этих же схем из предыдущего параграфа, где применялся метод гармоник и принцип максимума. В дальнейшем в § 4 энергетический метод будет использован для анализа системы разностных уравнений. [13]
Если применить таким образом определяемые а для численного решения линейных уравнений переноса вида щ их 0 с начальными данными типа ступенчатой функции, то для любых допустимых значений числа Куранта разностная схема позволяет получить решение типа бегущей ступеньки, которая движется по дискретной сетке без изменения и размазывания. Однако приведенные ограничители являются чрезмерно сжимающими и для нахождения других типов решения нуждаются в дополнительной коррекции. [14]
Задача о прохождении заряженных частиц через вещество сводится часто к решению линейного уравнения переноса при анизотропном рассеянии или к решению линеаризованного уравнения Ландау ( напр. [15]
Страницы: 1 2 3