Условие - курант
Cтраница 3
Тогда существуют значения ф, при которых подкоренное выражение в (4.5) положительно. Корни q и q - вещественны, причем абсолютная величина q превышает единицу. Этого достаточно, чтобы сделать заключение о неустойчивости схемы крест при невыполнении условия Куранта. [31]
Важные практические приложения теории функциональных решений [74, 99, 103, 104] связаны с доказательством в гл. Коши для обобщенного уравнения Больцмана (0.3) при условии, что скорость свободного переноса v является локально ограниченной борелевой функцией, а начальные данные UQ - неотрицательные суммируемые функции по лебеговой мере на Мп. Доказательство основывается на исследовании аппроксимаций, задаваемых разностной схемой, для которой устанавливается ряд равномерных оценок относительно шагов сетки при некотором условии Куранта. [32]
Нетрудно заметить, что при решении уравнений гиперболического типа методом сеток основное значение приобретает параметр а. Действительно, зная решение в узлах двух рядов на участке ограниченной протяженности, можно определить решение в третьем ряде в меньшем ( на единицу с каждой стороны) числе узлов - таким образом удается заполнить узлы в треугольной области. С другой стороны, известно, что для волнового уравнения область влияния есть треугольник со сторонами, наклоненными к осям под. Поэтому условие а 1 ( называемое условием Куранта) есть необходимое условие сходимости последовательности ( lim h, / - 0) приближенных решений к точному. [33]
Именно при решении второй системы используется феноменологическое упрощение модели сплошной среды на основе замены ее системой частиц в каждой ячейке эйлеровой системы, так что суммарный баланс массы, импульса и энергии частиц в ячейке отождествляется с соответствующими характеристиками для сплошной среды. Как только некоторая частица, несущая определенную массу в соответствии со своей траекторией, рассчитываемой индивидуально, пересекает границу ячейки, масса, импульс и энергия этой частицы вычитаются из покинутой ячейки и добавляются в новую ячейку, где теперь находится частица. Схема Харлоу основана на явных методах решения уравнений первого и второго этапа, она условно устойчива в целом. Особен-но плодотворно использование в расчетах первого шага неявных схем. В этом случае критерий устойчивости всей схемы совпадает с известным условием Куранта. До сих пор еще не получены абсолютно устойчивые схемы метода частиц, однако в ближайшие годы можно рассчитывать на существенный прогресс в этом направлении. [34]
 |
Схема степеней свободы четырех - напряжения, препятствующие пе-угольной ячейки ( стрелками показаны ва - рехлесту т.е. такому искажению се-рианты движения узлов А, Б, В и Г ячейки. [35] |
Особенностью лагранжевых численных методов является введение системы координат, связанной с фиксированной системой материальных точек. При этом лагранжева разностная сетка строится таким образом, что каждый ее узел движется с локальной скоростью среды. Это приводит к повышению концентрации узлов в областях с большими градиентами рассчитываемых величин, например в окрестности фронта ударной волны. Следствием повышенной концентрации узлов является повышение точности расчета в таких областях. Другим достоинством лагранжева метода является возможность контроля за состоянием отдельных частиц среды, что создает определенные удобства, особенно при решении задач с контактными границами, разделяющими области веществ с различными свойствами, а также при использовании моделей грунта, учитывающих предысторию нагружения. Использование лагранжевых координат в этих случаях позволяет значительно упростить алгоритм расчета. Однако при расчете с помощью лагранжевой методики процессов, сопровождающихся большими деформациями среды, появляются и значительные трудности. В частности, сильное искажение ячеек расчетной сетки может, в силу условия Куранта, привести к неприемлемому уменьшению шага по времени. [36]
Он широко применяется для расчета многомерных гидродинамических течений с сильными деформациями жидкости, большими относительными перемещениями и соударяющимися поверхностями раздела. Сущность метода состоит в следующем. Уравнения гидродинамики на основе слабой аппроксимации на каждом малом временном интервале сводятся к двум более простым системам, первая из которых описывает адаптацию гидродинамических полей между собой без учета адвективных членов и интегрируется обычными способами в неподвижной эйлеровой сетке, а вторая описывает перенос субстанций в лагранжевой системе координат. Именно при решении второй системы используется феноменологическое упрощение модели сплошной среды на основе замены ее системой частиц в каждой ячейке эйлеровой системы, так что суммарный баланс массы, импульса и энергии частиц в ячейке отождествляется с соответствующими характеристиками для сплошной среды. Как только некоторая частица, несущая определенную массу в соответствии со своей траекторией, рассчитываемой индивидуально, пересекает границу ячейки, масса, импульс и энергия этой частицы вычитаются из покинутой ячейки и добавляются в новую ячейку, где теперь находится частица. Схема Харлоу основана на явных методах решения уравнений первого и второго этапа, в целом она условно устойчива. Особенно плодотворным является использование в расчетах первого шага неявных схем. В этом случае критерий устойчивости всей схемы совпадает с известным условием Куранта. До сих пор еще не получены абсолютно устойчивые схемы метода частиц, однако в ближайшие годы можно рассчитывать на существенный прогресс в этом направлении. [37]
Страницы: 1 2 3