Cтраница 2
В дальнейшем предполагается, что условие общности положения выполнено. [16]
Собственными инвариантными подпространствами являются оси координат, так что условие общности положения заключается в отсутствии у многоугольника V сторон, параллельных осям координат. Полностью сохраняется и рассуждение о характере изменения вектора ф ( ср. [17]
К ним относятся доказательство принципа максимума в линейном случае и условие общности положения, теорема о конечности числа переключений, теоремы существования и единственности. [18]
При этом предполагается, что система (4.97) удовлетворяет сформулированному выше условию общности положения. Требуется отыскать оптимальный процесс, соединяющий многообразия Ж0 и М ( ср. [19]
Отметим, далее, что при обратном переходе ( от системы (2.84) к системе (2.83)) условие общности положения, а также условие 3), указанное на стр. Все это, однако, вовсе не ограничивает возможности применения рассматриваемого преобразования. Ведь переход совершается именно от уравнения (2.83) к уравнению (2.84), а не наоборот, а при этом переходе указанные условия сохраняются и, кроме того, как мы видели, оптимальные процессы уравнений (2.83) и (2.84) взаимно однозначно соответствуют друг другу. [20]
Образуем расширение Лагранжа для линеаризованной задачи и показываем, что в невырожденном случае ( при выполнении условий общности положения) оно ей эквивалентно; это означает, что условия оптимальности этих двух линейных задач совпадают. [21]
Поскольку изменение значения управления на множестве нулевой меры не оказывает никакого влияния на траекторию системы, то при выполнении условия общности положения в данной задаче быстродействия в качестве допустимых управлений можно рассматривать класс кусочно постоянных и непрерывных слева управлений. Этот класс управлений состоит из функций, имеющих не более конечного числа точек разрыва ( называемых точками переключения), постоянных на каждом интервале непрерывности и имеющих в каждой точке разрыва своим значением предел слева. Действительно, если в исходной задаче выполняется условие общности положения и система управляема из MQ на MI, то в силу теоремы существования оптимального управления ( см. лекцию 9) оптимальное по быстродействию управление существует в классе измеримых управлений. Далее, оптимальное управление удовлетворяет принципу максимума Понтрягина. Следовательно, в силу теоремы о конечном числе переключений, переопределив, если это необходимо, оптимальное управление на множестве нулевой меры, можно считать его кусочно постоянным и непрерывным слева. [22]
При синтезе оптимальных управлений для нелинейных объектов используется много новых приемов и способов качественного исследования процессов, базирующихся на условии общности положения, качественной теории дифференциальных уравнений и анализе функциональных матриц. Автор не профессиональный математик, поэтому он уверен, что изложение материала по синтезу оптимальных управлений для нелинейных объектов не лишено недостатков математического плана. В книге не замалчиваются спорные вопросы и недоказанные математические положения, поэтому автор надеется, что книга будет интересна и математикам. [23]
В силу леммы 2.7 отсюда вытекает, что вектор Bw принадлежит собственному инвариантному подпространству относительно преобразования А, а это противоречит условию общности положения. [24]
Мы получим, прежде всего, что если на двух проективных прямых заданы упорядоченные тройки попарно разных точек ( это и есть здесь условие общности положения), то существует единственный проективный изоморфизм прямых, переводящий одну тройку в другую. [25]
Так как в многограннике U имеется конечное число ребер, то можно выписать лишь конечное число таких определителей. Условие общности положения означает, что ни один из этих определителей не обращается в нуль. Ясно, что это условие не является особенно стеснительным: если некоторые из определителей и обращаются в нуль, то достаточно слегка изменить коэффициенты уравнений (2.12) или расположение многогранника U, чтобы все эти определители стали отличными от нуля. Таким образом, невыполнение условия общности положения является весьма исключительным случаем, когда коэффициенты уравнений (2.12) и расположение многогранника U случайно оказались подобранными таким образом, что хотя бы один из определителей обращается в нуль. Иначе говоря, условие общности положения, как правило, должно выполняться. [26]
Если выполнено условие общности положения, то каждая компонента оптимального управления имеет конечное число точек переключения. [27]
Прежде всего выясним смысл условия общности положения. Предположим, что условие общности положения не выполнено. [28]
Основным методом определения оптимальных управлений для нелинейных объектов, который используется на протяжении всей книги, является принцип максимума, сформулированный и обоснованный А. С. Понтрягиным и его школой. Дополнительным инструментом для определения оптимальных управлений служит условие общности положения, которое вытекает из соотношений принципа максимума. Принцип максимума завоевал мировое признание, и автор уверен в том, что овладение им необходимо инженерам, специализирующимся в области автоматического управления технологическими процессами. [29]
Оценим для оптимального управления ua ( t) количество точек переключения. Ниже предполагается выполненным следующее условие, называемое условием общности положения. [30]