Cтраница 3
В этом случае будем говорить, что рассматривается система с особенностью. В теории принципа максимума Понтрягина это означает, что система не удовлетворяет условию общности положения. Заметим, что здесь принцип максимума также является достаточным условием оптимальности. [31]
Рассмотрим однопараметрическое семейство гиперплоскостей, а именно, выберем гиперплоскость общего положения в К, пересекающую тело, и будем двигать ее параллельно самой себе; при этом условие общности положения состоит в том, что вещественная линейная функция ф ( х), множества уровня которой ф ( х) т задают гиперплоскости из этого семейства, имеет только морсовские критические точки в ограничении на поверхность тела, причем критические значения в них различны. Если тело строго выпуклое, то имеется лишь две такие критические точки - минимум и максимум. Когда мы сдвинем плоскость параллельно себе от одного критического положения до другого, объем отсеченной части тела будет изменяться от 0 до полного объема тела. Если дойти по полного объема, а затем начать двигаться обратно, то объем будет уменьшаться. Но если перед тем, как начать двигаться обратно, заставить параметр г нашего семейства выйти в комплексную область и обойти вокруг критического значения, то оказывается, что в силу формулы Пикара-Лефшеца ( при четном N) объем будет не уменьшаться, а снова увеличиваться - ровно на столько же, на сколько он уменьшался бы, если бы мы не обходили вокруг критического значения. [32]
Ап-1 ( щ - Uj) при г j, отличны от нуля. Нетрудно видеть, что для любой матрицы А и для любого выпуклого замкнутого ограниченного многогранника U всегда можно так сколь угодно мало изменить элементы о матрицы А, что все такие определители будут отличны от нуля и, следовательно, будет выполняться условие общности положения. [33]
Поскольку изменение значения управления на множестве нулевой меры не оказывает никакого влияния на траекторию системы, то при выполнении условия общности положения в данной задаче быстродействия в качестве допустимых управлений можно рассматривать класс кусочно постоянных и непрерывных слева управлений. Этот класс управлений состоит из функций, имеющих не более конечного числа точек разрыва ( называемых точками переключения), постоянных на каждом интервале непрерывности и имеющих в каждой точке разрыва своим значением предел слева. Действительно, если в исходной задаче выполняется условие общности положения и система управляема из MQ на MI, то в силу теоремы существования оптимального управления ( см. лекцию 9) оптимальное по быстродействию управление существует в классе измеримых управлений. Далее, оптимальное управление удовлетворяет принципу максимума Понтрягина. Следовательно, в силу теоремы о конечном числе переключений, переопределив, если это необходимо, оптимальное управление на множестве нулевой меры, можно считать его кусочно постоянным и непрерывным слева. [34]
Поскольку по условиям теоремы начало координат не является вершиной многогранника t /, то для каждого t [ 2i i ] найдется ребро многогранника U, на котором скалярное произведение ( u - 01 ( t)) 0 и, следовательно, постоянно. Поскольку число ребер многогранника U конечно, то найдется такое ребро w, на котором скалярное произведение ( tt, ( f) обращается в нуль для бесконечного числа моментов времени t [ 2, i ] - Пусть вектор v имеет направление этого ребра. Тогда в силу аналитичности функции V i () на отрезке [ t2) i ] справедливо тождество, 1 ()) О - Точно так же, как и в доказательстве теоремы о конечности числа переключений, продифференцировав последовательно п - 1 раз это тождество во внутренних точках отрезка [ t2 i ] i в силу условия общности положения получаем противоречие с нетривиальностью сопряженной функции Vi ( 0 - Теорема доказана. [35]
Так как в многограннике U имеется конечное число ребер, то можно выписать лишь конечное число таких определителей. Условие общности положения означает, что ни один из этих определителей не обращается в нуль. Ясно, что это условие не является особенно стеснительным: если некоторые из определителей и обращаются в нуль, то достаточно слегка изменить коэффициенты уравнений (2.12) или расположение многогранника U, чтобы все эти определители стали отличными от нуля. Таким образом, невыполнение условия общности положения является весьма исключительным случаем, когда коэффициенты уравнений (2.12) и расположение многогранника U случайно оказались подобранными таким образом, что хотя бы один из определителей обращается в нуль. Иначе говоря, условие общности положения, как правило, должно выполняться. [36]
Замечательным фактом является то, что в случае линейной задачи оптимального управления принцип максимума представляет собой не только необходимое, но и достаточное условие оптимальности. Однако факт этот имеет место не для произвольной линейной задачи - имеются малосущественные исключения. Поэтому мы наложим на линейную задачу некоторое ограничение, называемое условием общности положения. [37]
Так как в многограннике U имеется конечное число ребер, то можно выписать лишь конечное число таких определителей. Условие общности положения означает, что ни один из этих определителей не обращается в нуль. Ясно, что это условие не является особенно стеснительным: если некоторые из определителей и обращаются в нуль, то достаточно слегка изменить коэффициенты уравнений (2.12) или расположение многогранника U, чтобы все эти определители стали отличными от нуля. Таким образом, невыполнение условия общности положения является весьма исключительным случаем, когда коэффициенты уравнений (2.12) и расположение многогранника U случайно оказались подобранными таким образом, что хотя бы один из определителей обращается в нуль. Иначе говоря, условие общности положения, как правило, должно выполняться. [38]