Cтраница 3
Аналогично в рассматриваемой здесь задаче оптимального быстродействия мы отказываемся от каких-либо претензий на необходимость. Совокупность этих трасс заменит семейство кривых, рассматривавшееся в классической постановке. Утверждение классической теорем; , согласно которому это семейство должно состоять только из экстремалей, превращается теперь в исходное предположение, которое следует объединить с условием Вейерштрасса и условием трансверсальности. Аналогом всех этих условий является принцип максимума. Поэтому мы не будем подозревать все допустимые траектории без разбора, а только те из них, которые удовлетворяют этому принципу; итак, каждая трасса должна удовлетворять принципу максимума. Мы сформулировали лишь одно из предположений; это даже не определение, так как трасса должна будет удовлетворять еще и дополнительным условиям. [31]
Под решением мы здесь подразумеваем й-минимизирующую кривую. В дальнейшем, в соответствии с известным высказыванием Гильберта, мы расширим понятие решения, но это не повлияет на приведенные выше теоремы. Заметим, что, кроме (51.2), имеются и другие необходимые условия, не основанные на первой вариации. Автоматически выполняется условие Вейерштрасса, так как все точки эллиптические. В следующей главе мы рассмотрим параметрическую форму условия Якоби, что соответствует вопросам, изученным в гл. [32]
Однако если V - замкнутое множество и V En, то соотношение ( 4), вообще говоря, не выполняется. Более того, имеются примеры, когда и условие Вейер-штрасса в этом случае не имеет места ( [195], стр. Принцип максимума, являясь естественным обобщением условия Вейер-штрасса из классического вариационного исчисления, имеет то существенное преимущество перед условием Вейерштрасса, что он применим для любого ( в частности, и замкнутого) множества Fe. [33]
Так как начальная и конечная точки не принадлежат особому участку, то оптимальная траектория может состоять по крайней мере из трех участков. Очевидно, что включение особого участка в этом случае может быть осуществлено только за счет разрыва вектора р ( t) в точке сопряжения. Однако этот разрыв в угловой точке непроизволен. При некоторых ограничениях можно доказать теорему, устанавливающую условия в угловой точке при сопряжении особой и неособой экстремалей, аналогичные условиям Вейерштрасса - Эдмана для неособых экстремалей. [34]