Cтраница 3
Необходимость условий следствия 6 теперь вытекает из теоремы 5, так как, ввиду равенства S ( G / G) 1, группа G / G циклическая и потому, учитывая, что G С - В, можно заключить: А - G / B - циклическая группа. [31]
Это означает нечетность G. Полученное противоречие с условием следствия 4 свидетельствует о том, что допущение о четности G - неверно. Следовательно, G - нечетное число, ввиду чего, согласно теореме 5, G - А X В, где А - абелева 2-группа, В - группа нечетного порядка. [32]
Если MG / H есть однородное пространство и группа clAd) компактна в GL ( n), то на М существует инвариантная риманова метрика. Более того, в условиях следствия на G существует левоинвариантная и Я-правоинвариантная риманова метрика и инвариантная метрика на М может быть выбрана таким образом, что тг: С - М будет римановой субмерсией. [33]
Именно этим следствием обычно и пользуются. Надо, однако, заметить, что возможен случай, когда одно из условий следствия нарушено, тогда как условие теоремы соблюдено. [34]
Покажем, что условия теоремы Какутани выполнены. Действительно, множество Z является выпуклым, ограниченным и замкнутым, так как множества X, Y обладают этими свойствами. Далее легко видеть, что при выполнении условий следствия 2 ср ( г) является непустым выпуклым и замкнутым подмножеством множества Z, так как множества Фх и Фу обладают этими свойствами. [35]