Cтраница 3
Критерии устойчивости, подробно описанные в [3], классифицируются как прямые, требующие нахождения корней характеристического уравнения, и как косвенные, не требующие вычисления корней. Критерии устойчивости формулируют необходимые и достаточные условия устойчивости, основанные на анализе корней характеристического уравнения, но не требующие их вычисления. [31]
Однако поскольку условие gradS 0 означает устойчивость против конвекции ( т.е. субадиабатичность падения температуры), мы снова сталкиваемся с парадоксом фон Цейпеля, согласно которому лучистое равновесие в псевдобаротропах невозможно. Во-вторых, критерий Хейланда дает необходимые и достаточные условия устойчивости лишь по отношению к рассмотренным нами осесимметрич-ным движениям. Поскольку в своем анализе мы не затрагивали неосесим-метричные возмущения и пренебрегали эйлеровой вариацией 6V, этот критерий следует считать лишь необходимым условием устойчивости. В настоящее время малые отклонения от осевой симметрии в звезде изучены еще плохо. [32]
В пункте 3 было указано, что необходимые и достаточные условия устойчивости равновесия относительно изменения масс компонентов не будут выведены для фаз с числом компонентов больше двух. Но достаточные условия устойчивости равновесия таких фаз предугадываются и проверяются легко. [33]
Из раасмотренных методов анализа устойчивости нелинейных си-ете м только метод фазового пространства дает возможность получить точно необходимые и достаточные условия устойчивости. Приближенно g точностью реализации модели, соответствующей заданной системе уравнений, необходимые и достаточные условия устойчивости могут быть получены с помощью математического моделирования. [34]
Из рассмотренных методов анализа устойчивости нелинейных систем только метод фазового пространства дает возможность получить точно необходимые и достаточные условия устойчивости. Приближенно с точностью реализации модели, соответствующей заданной системе уравнений, необходимые и достаточные условия устойчивости могут быть получены с помощью математического моделирования. [35]
Из неспектральных подходов к изучению устойчивости-разностных аналогов уравнений параболического и гиперболического типов необходимо указать на весьма общую теорию, построенную А. А. Самарским [ 3 6 - 71 на основе энергетических неравенств и априорных оценок. В этой теории для широкого класса двухслойных и трехслойных схем содержатся необходимые и достаточные условия устойчивости, сформулированные в виде неравенств между операторными коэффициентами разностных схем. Эти условия весьма конструктивны и позволяют не только исследовать схемы на устойчивость, но и строить новые устойчивые схемы. [36]
Применяя эту формулировку к случаю логарифмических характеристик, можно легко установить необходимые и достаточные условия устойчивости системы. [37]
Анализ устойчивости включает несколько этапов. Мы укажем здесь лишь на роль важной теоремы Крайса [316, 317], дающей необходимые и достаточные условия устойчивости разностной аппроксимации линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, к которым в конечном счете сводится более сложная нелинейная задача. Содержание теоремы Крайса, представляющей интерес и для дальнейшего изложения, можно кратко проиллюстрировать на простейшем примере. [38]
В настоящем параграфе изучаются свойства инвариантных множеств динамических периодических систем, определяющих уходящие движения. Предложена методика свертки фазового пространства в многомерный тор таким образом, что инвариантные множества, соответствующие предельным множествам уходящих движений, оказываются ограниченными. Получены необходимые и достаточные условия устойчивости таких множеств. [39]
В связи с этим отметим один довольно очевидный важный результат: необходимым и достаточным условием устойчивости стационарного режима произвольной схемы является устойчивость стационарных режимов комплексов и блоков, не входящих в комплексы. Этот факт позволяет свести исследование устойчивости всей схемы к исследованию устойчивости отдельных комплексов и блоков, не входящих в комплексы. В работе [40 ] получены необходимые и достаточные условия устойчивости стационарных состояний сложных схем, состоящих из объектов с сосредоточенными параметрами и объектов типа гомогенных реакторов, а в работе [41 ] - необходимые и достаточные условия стационарных режимов каталитического реактора с рециклом. [40]
В этих работах функция Ляпунова строится с помощью интегралов движения. При этом, в частности, были получены необходимые и достаточные условия устойчивости спящего волчка и прямолинейного качения диска. Семеновой, обобщающей теорию Рауса на неголономные системы, за функцию Ляпунова берется интеграл энергии, в работах А. П. Дуваки-на и И. М. Миндлина - линейная комбинация интегралов движения или их главных членов, в работе И. М. Миндлина и Г. К. Пожарицкого - квадратичная функция интегралов движения. [41]
Рауса, Пуанкаре, Ляпунова, Кельвина и Четаева. Этот метод характеризуется единообразием подхода к исследованию устойчивости разнообразных механических систем и позволяет получать необходимые и достаточные условия вековой устойчивости. Это понятие обобщает на стационарные движения понятие вековой устойчивости равновесия Кельвина. Доказана следующая теорема, обращающая теорему Рауса. [42]
В связи с этим в книге излагаются основы общей теории итерационных методов. Большое внимание уделено вопросу устойчивости вычислений на электронных вычислительных машинах. В главе V дано простое изложение теории устойчивости задачи Коши для системы разност-ных уравнений первого порядка. Здесь получены совпадающие необходимые и достаточные условия устойчивости разностных схем, а также исследована асимптотическая устойчивость разностных схем. [43]
В последние годы заметно повысился интерес к вариационным методам решения задач математической физики. Вариационные методы Ритца, Галеркина, Трефтца и др. давно заняли в вычислительной математике важное место. Особенно эффективны эти методы в тех задачах, где искомыми являются функционалы от решения. Оказалось, что уже при сравнительно невысоких приближениях функционалы получаются с большой точностью. Наиболее полное теоретическое обоснование методов дано в исследованиях С. Г. Михлина [1] который установил необходимые и достаточные условия устойчивости вариационных методов в пространствах с энергетической нормой. Активное развитие вариационных методов обнаружило и некоторые их недостатки, связанные с трудностью построения пробных функций, которые отражали бы особенности решения задачи и при сравнительно малом числе этих функций давали бы удовлетворительную аппроксимацию решения. [44]
В последние годы заметно повысился интерес к вариационным методам решения задач математической физики. Вариационные методы Ритца, Галер-кина, Трефца и других давно заняли в вычислительной математике важное место. Особенно эффективны эти методы в тех задачах, где искомыми являются функционалы от решения. Оказалось, что уже при сравнительно невысоких приближениях функционалы получаются с большой точностью. Наиболее полное теоретическое обоснование методов дано в исследованиях С. Г. Михлина ш, который установил необходимые и достаточные условия устойчивости вариационных методов для задач с энергетической нормой. Активное развитие вариационных методов обнаружило и некоторые их недостатки, связанные с трудностью конструктивного построения системы пробных функций, которые отражали бы особенности решения задачи и при сравнительно малом числе давали удовлетворительную аппроксимацию решения. [45]