Cтраница 3
Нетрудно показать, что это соответствие взаимно однозначно. Таким образом, изучение многообразий автоматов сводится к изучению насыщенных многообразий автоматов и многообразий полугрупп. [31]
Действительно, основными неопределяемыми понятиями математики являются точка и число. Многообразие ( множество) точек определяют различные геометрические фигуры, которые являются предметом изучения в геометрии. Изучением многообразия ( множества) чисел, выраженных в символической форме, занимается алгебра. Любое теоретическое исследование в области точных наук осуществляется путем использования различных математических операций. [32]
Вопрос об изучении многообразия этих параметров, его структуры, известен под названием проблемы модулей и для п 2 получил в последнее время достаточно полное решение. [33]
Леви-Чпвпта ( 1873 - 1941, Италия, потом США), было разработано математиками еще в XIX веке, но только успех теории Эйнштейна сделал его популярным. Заодно значительно оживился интерес к изучению римановых многообразий и к себе, и путем рассмотрения их как вложенные в евклидово пространство соответствующего ( большего) числа измерений. [34]
Разнообразие природных форм организмов необходимо для проведения селекции. Под руководством академика Н. И. Вавилова были выполнены работы по изучению многообразия и географического распространения культурных растений. [35]
Спектр Spec К многообразия К - это множество порядков всех конечных алгебр из К. Спектр является подмоноидом в мультипликативном моноиде натуральных чисел. Это следует из того, что многообразие К содержит одноэлементную алгебру и замкнуто относительно прямых произведений. Рассмотрение спектров наиболее содержательно при изучении многообразий, порождаемых своими конечными алгебрами. [36]
К настоящему времени разработаны и реализованы сотни различных языков программирования. Саммет [ 19G9 ] приводит список из 120 языков, получивших довольно широкое распространение, и почти в каждом вычислительном центре имеются другие, используемые только данным центром. Это изобилие языков находится в ошеломляющем противоречии с тем фактом, что большинство программистов применяет лишь несколько языков, а многие ограничиваются одним-двумя. Многие программисты-практики работают в вычислительных центрах, где требуется программировать на каком-то одном языке, таком, как ПЛ / 1, Кобол или Фортран. Какую пользу может получить программист от изучения многообразия различных языков, если он вряд ли будет иметь когда-либо возможность применить их. [37]
Мейера вариационного исчисления 1) приводит к уравнению Гамильтона, характеристики которого являются экстремалями задачи Мейера. Все сказанное о бесконечно малом преобразовании прикосновения переносится без изменений также на случай многих переменных. Annalen, том 73 и 76), Здесь можно только в виде намека указать, что дело идет об изучении многообразий возврата решений систем диференциальных уравнений с частными производными первого порядка. Было бы весьма же / ательно получить более геометрически наглядное изложение результатов Гросса. [38]
Ясно, что любая универсальная алгебра может быть реализована указанным способом. Коммутативным диaгpa шaм в категории Т соответствуют тождества в / - алгебрах. Гомоморфизмами Г - алгебр являются естественные преобразования функторов. Таким образом, все построенные Г - алгебры образуют многообразие, по которому категория Т восстанавливается однозначно. Действительно, пусть С С п О - клон главных производных операций свободной алгебры счетного ранга этого многообразия. Таким образом, категорный подход к универсальным алгебрам эквивалентен изучению многообразий и клонов главных производных операций. Категорный подход к универсальным алгебрам интересен тем, что позволяет рассматривать универсальные алгебры над произвольной категорией с прямыми произведениями. [39]
Этой трактовке посвящен параграф 3.9. В параграфе 3.10 изучаются шкалы потенциалов вычислительное конечных алгебр. В параграфе 3.1 вводится понятие условного терма и условно термальной функции на универсальной алгебре. Исследуются вопросы синтаксического описания таких функций, вопросы совпадения совокупностей условно термальных и термальных функций над алгебрами, определимости любой функции над базисным множеством универсальной алгебры условным термом. В параграфе 3.2 исследовано строение условных многообразий универсальных алгебр, строится исчисление условных тождеств и доказывается теорема полноты для этого исчисления. Одним из преимуществ рассмотрения условных многообразий оказывается возможность изучения отдельных конечных алгебр, что невозможно при работе с многообразиями. Однако при этом утрачиваются возможности использования конгруэнции ( даже относительных конгруэнции) - основного аппарата изучения многообразий и квазимногообразий универсальных алгебр. В параграфе 3.3 доказывается аналог теоремы А.И. Мальцева о связи рациональной эквивалентности многообразий с их категорной эквивалентностью. Устанавливается связь условно рациональной эквивалентности условных многообразий с эквивалентностью категорий вложимости этих условных многообразий. На основе этой связи в параграфе 3.4 описаны системы инвариантов условно рационально эквивалентных алгебр. Морита-эквивалентные по вложимости), в связи с этим вводится понятие схожих конечных алгебр. Инварианты отношения схожести на конечных алгебрах также находятся в параграфе 3.4. Изучение условно рациональной эквивалентности в параграфе 3.3 позволяет найти чисто алгебраическое описание условно термальных функций на равномерно локально конечных алгебрах и описать ситуации, когда сколемовские функции на универсальных алгебрах являются условно термальными. [40]
Мы изучали периодические, квазипериодические, ( слабо) псевдопериодические слова. Теперь требуется рассмотреть кусочно периодические слова. Необходимость их изучения вызвана следующими обстоятельствами. Во-первых, по теореме Ширшова о высоте такие слова образуют нормальный базис Pi-алгебры. Во-вторых, понятие кусочной периодичности служит естественным обобщением понятия периодичности. В третьих, типам таких слов соответствуют связные графы без параллельных ребер, и язык типов соответствует языку графов. При изучении кусочной периодичности возникают понятия и леммы, позволяющие дать описание представимых мономи-альных алгебр. Все это составляет также аппарат, необходимый для изучения многообразий мономиальных алгебр. [41]