Cтраница 3
Для любой заданной системы, удовлетворяющей условиям G2 и GI, множество Т геделевых номеров истинных утверждений не именуемо в данной системе. [31]
Однако для каждой новой машины либо он сам, либо Крейг с Мак-Каллохом все-таки находили такое истинное утверждение, которое машина доказать не могла. Поэтому в конце концов Фергюссон отказался от мысли сконструировать чисто механическое устройство, которое было бы одновременно и точным ( в указанном выше смысле. [32]
Теперь ты понимаешь - спросил Шалтай-Болтай - почему зазеркальный логик не может быть убежденным в истинности истинного утверждения. [33]
Отсюда, в частности, следует, что любая теория представляет собой не столько набор всех возможных истинных утверждений, сколько набор цепочек таких утверждений или путей в виртуальном пространстве данной теории. Эти утверждения исторически появляются обычно раньше, чем сама теория и ее аксиомы, а возникали они как проблемы других мате матических теорий или как проблемы других наук. Сравнивая различные изложения одной теории, можно убедиться, что эти центральные теоремы по-разному формулируются, подход к ним может осуществляться различными путями, но все-таки говорят эти теоремы об одном и том же. Обращаясь к приложениям, мы увидим, что там аналогичные утверждения находят применение в совсем иной формулировке, причем зачастую в такой, которая из аксиом соответствующей теории в чистой математике вообще не выводится. Так, например, в прикладной математике и в теоретической физике дифференциал часто понимается как бесконечно малая ( или даже просто очень маленькая) величина, что недопустимо в современном анализе и не согласуется с аксиоматикой числовой прямой. Однако именно эта многозначность, именно то, что дифференциал - это и главная часть, и оператор, и форма, и класс эквивалентности, и бесконечно малая величина одновременно, связывает различные теории между собой и создает возможности для приложений. [34]
Предположим, зазеркальный логик убежден, что Бармаглот высказал за всю свою жизнь по крайней мере одно истинное утверждение. Следует ли из этого, что он убежден в истинности каждого утверждения, которое когда-либо высказал Бармаглот. [35]
С помощью свойств 1 - 3 можно, оказывается, строго показать, что машина Фергюссона не способна доказать все истинные утверждения. Читателю предлагается найти такое утверждение, которое является истинным, но при этом не может быть доказано с помощью этой машины. [36]
Действительно, если до обращения значений истинности одно из них было истинным, а другое ложным, то после обращения истинное утверждение станет ложным, а ложное - истинным. [37]
Виновника происшествия следует искать среди трех других ребят - тех, кто высказал по одному ложному и лишь по два истинных утверждения. [38]
Принцип, согласно которому в теории структур из любого истинного утверждения при замене пересечения объединением, а объединения - пересечением получается истинное утверждение. [39]
Пусть теперь нам известно, что машина на 100 % точна, то есть она не может выдать нам ложное утверждение, печатая только истинные утверждения. Отсюда вытекает ряд следствий. Например, если машина в один прекрасный день напечатает утверждение Р-X, то, значит, она должна напечатать и выражение X, потому что раз она может напечатать утверждение Р-X, то, стало быть, это утверждение истинно, а это означает, что выражение X допускает распечатку. [40]
Так как зазеркальный логик убежден, что ложное истинно, а истинное ложно, Бармаглот за всю свою жизнь не высказал ни одного истинного утверждения. Все утверждения, высказанные когда-либо Бармагло-том, ложны. Следовательно, зазеркальный логик должен быть убежден в истинности каждого утверждения Бармаглота. [41]
Геделя о неполноте Две теоремы, доказанные Куртом Гс - делем в 1931 г. В одной из формулировок цервой георемы утверждается, что совокупность истинных утверждений арифметики не является рекурсивно перечислимой ( См. Вторая теорема о неполноте связана с программой Гильберта в области оснований математики. [42]
Их называют соответственно обратной теоремой, противоположной теоремой, теоремой, обратной противоположной; следует иметь при этом в виду, что теоремой мы обычно называем истинное утверждение, вообще же для любого утверждения это заранее не предполагается. [43]
Это был наш первый пример того, как формальная система может быть основана на фрагменте действительности и точно отображать его в том смысле, что теоремы этой системы изоморфны истинным утверждениям данной части действительности. Однако надо иметь в виду, что действительность и формальные системы не зависят друг от друга. Никто не обязан знать об изоморфизме между ними. Каждая из этих систем существует сама по себе: 1 плюс 1 равняется 2, независимо от того, знаем ли мы, что - р - r - является теоремой; с другой стороны, - р - r - является теоремой, независимо от того, соотносим ли мы ее с примером сложения. [44]
Будучи истинными утверждениями, вопросы не могут иметь в качестве пресуппозиций ложные допущения и не могут быть бессмысленными. Вопросно-ответный процесс интерпретируется как разновидность игры с полной информацией. [45]