Cтраница 4
Найдите истинное утверждение, которое машина не может напечатать. [46]
Разумеется, не все утверждения нуждаются в экспериментальной проверке. Бессмысленно проверять тождественно истинные утверждения, например, такие, как: объем выпуска равен произведению выработки одного рабочего на их численность. [47]
Легко и просто за какие-нибудь три пассажа Смаллиан показывает, что на острове существует по крайней мере один непризнанный рыцарь и по крайней мере один неотъявленный лжец. Если рассматривать рыцарей как истинные утверждения, признанных рыцарей как доказуемые истинные утверждения, лжецов как ложные утверждения и отъявленных лжецов как доказуемые ложные утверждения, то результаты, к которым приходит в ходе своих рассуждений Смаллиан, соответствуют результатам Геделя. [48]
Если не ограничивать сверху величину чисел пит, то сколько всего решений может быть у такой задачи. Иначе, сколько существует истинных утверждений, которые недоказуемы с помощью машины Фергюссона. [49]
Однако остается открытым вопрос, можно ли построить такие модели в лаборатории. Например, если принять за истинное утверждение, что в лаборатории можно построить не более чем бесконечно счетное число моделей, то большинство математически существующих гамильтонианов не может быть реализовано физически. [50]
Понятие общезначимости подчеркивает тот факт, что задаваемая формулами булева функция сохраняет свое значение истинности на всех значениях аргументов. Понятие тавтологии подчеркивает, что тождественно истинное утверждение является в некотором смысле тривиальным, не дающим никакой информации о взаимосвязи входящих в него высказываний. Действительно, если мы знаем, что А & В истинно, то мы знаем, что и Аи В являются истинными утверждениями. Однако же истинность утверждения AID AVB не налагает никаких связей на А и В. Таким образом, общезначимая формула характеризует скорее некоторое свойство входящих в него логических связок, проявляющее себя безотносительно не только к смысловому содержанию, но даже и к значениям истинности входящих в нее логических переменных. [51]