Cтраница 4
Элементы линейного пространства мы будем называть векторами, невзирая на то, что по своей конкретной природе они могут быть вовсе и не похожи на привычные нам направленные отрезки. Геометрические представления, связанные с названием векторы, помогут нам уяснить и часто предвидеть нужные результаты, а также находить прямой геометрический смысл в различных фактах из алгебры и анализа, который без того не был бы очевидным. В частности, в следующей главе мы получим простую геометрическую характеристику всех решений однородной или неоднородной системы линейных уравнений. [46]
Под наукой, как уже было сказано, понимается знание, полученное путем наблюдения, осмысления и проверки - методов, гарантирующих, что собранный фактический материал будет достаточно достоверным. Постоянно предпринимаемые усилия, пересматривающие существующие представления, повышающие точность, выявляющие и исправляющие ошибки, придают научным законам такую форму, при которой взаимозависимость различных фактов становится максимально очевидной. Наука, подобно всякому знанию вообще, - результат деятельности, изменяющей окружающую среду. Качество полученного знания - фактор, управляющий исследованием, а не его случайный продукт. [47]
Элементы любого линейного пространства мы будем называть векторами, несмотря на то, что по своей конкретной природе они могут быть совсем не похожи на направленные отрезки. Геометрические представления, связанные с названием векторы, помогут нам уяснить и часто предвидеть нужные результаты, а также помогут находить не всегда очевидный геометрический смысл в различных фактах. [48]
Подведем итог: мы показали, как по данной машине и входному значению п построить такие конечное множество предложений Д и отдельное предложение Я, что ( мы утверждаем это) соотношение АЬ Я имеет место тогда и только тогда, когда машина, получив п на входе, в конце концов останавливается. Разумеется, мы должны еще проверить это утверждение. В нашем доказательстве этого утверждения мы будем свободно апеллировать к различным фактам, касающимся отношения Н в логике первого порядка, с которыми читатель предположительно знаком. [49]
Один из них заключается в использовании общих операций, применяемых к декларативному представлению. На этом-этапе обучающийся, как правило, изучает текст и запоминает различные факты. Например, в уже упоминавшейся работе [84] испытуемые изучали гл. Они запоминали различные факты относительно структуры данных языка, а также овладевали навыками использования некоторых элементарных функций. [50]
Означает ли это, что авторы обманули читателя, назвав свою книгу Кибернетика без математики. Ведь формулы - это просто язык, позволяющий в краткой форме описывать различные факты. Если описывается, например, тот факт, что квадрат гииотенузы равен сумме квадратов катетов, то такая формула, конечно, будет математической. Но если описываемый факт не имеет никакого отношения к математике, то и сама формула будет только тем, чем она есть на самом деле - фразой, записанной на некотором своеобразном языке. [51]