Cтраница 2
Второе утверждение теоремы следует из того, что фактор-кольцо имеет единственный максимальный идеал, если его имеет исходное кольцо. [16]
Пусть R - кольцо, / - его идеал, а кольцо / и фактор-кольцо П / 1 вилыютентны. [17]
Пусть R - некоторое кольцо, / - его идеал, а кальцо / и фактор-кольцо RJ1 являются ииль-кольцами. [18]
Последнее кольцо является нетеровым в силу теоремы 4.8. Поэтому первая часть утверждения теоремы следует из того, что фактор-кольцо нетерова кольца - снова нетерово кольцо. [19]
К идеал, не содержащийся в других истинных идеа - лах кольца К - Если / - максимальный идеал кольца К, то фактор-кольцо К / 1 является, очевидно, полем. [20]
Допустимыми разбиениями линейной алгебры R с единицей являются разбиения по некоторому идеалу кольца R. Фактор-кольцо линейной алгебры над полем Р по любому идеалу оказывается линейной алгеброй над тем же самым полем. [21]
Элементы и, v кольца 91 в силу ( 11) сравнимы mod 9f тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые постоянные члены. Следовательно, фактор-кольцо 91 / 91 изоморфно полю К. [22]
Легко проверить, что если ф: Л - R - гомоморфное наложение колец и кольцо R коммутативно, то кольцо R также коммутативно. В частности, фактор-кольцо коммутативного кольца коммутативно. Поэтому коммутативными оказываются все кольца вычетов. [23]
Роль фактор-колец в теории колец совершенно аналогична роли факторгрупп в теории групп. В частности, построение фактор-колец от известных колец представляет собой удобный способ образования колец с самыми различными свойствами. Более того, легко доказывается, например, что произ вольное коммутативное кольцо К изоморфно фактор-кольцу кольца многочленов с целыми рациональными коэффициентами от достаточного числа переменных. [24]
Если / С - двусторонний идеал, то фактор-группа К / К естественно снабжается умножением ( произведением классов х - - К. Возникающее таким образом кольцо называется фактор-кольцом. [25]
Если R - регулярное кольцо и е2 е е R, то кольцо eRe также регулярно. Регулярны прямое произведение и прямая сумма регулярных колец, фактор-кольцо и двусторонний идеал регулярного кольца и кольцо матриц над регулярным кольцом ( [87], с. [26]
С ( ВтР) k ( P), причем действие С ( ВТт на С ( ВтР) задается эпиморфизмом на фактор-кольцо. [27]
Напомним, что простым кольцом называется кольцо, не являющееся кольцом с нулевым умножением и не содержащее двусторонних идеалов, отличных от 0 и всего кольца. Простыми кольцами являются поля, тела и кольца матриц над ними ( ЭА, с. Всякое ненулевое фактор-кольцо простого кольца, очевидно, изоморфно ему. Поэтому переход от простого кольца как к идеалам, так и к фактор - кольцам не приводит к проще устроенным кольцам. Этим объясняется особый интерес к их строению ( ср. [28]
Напомним, что полем называется коммутативное и ассоциативное кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент обратим. Примерами полей служат действительные и комплексные числа с обычными операциями и кольца вычетов по простому модулю. Совокупность рациональных функций над любыми полями и фактор-кольцо кольца многочленов над полем по идеалу, порожденному неприводимым многочленом, также оказываются полями. [29]
Мера х на о-кольце S подмножеств некоторого множества X обычно не является положительной. Однако существуют хорошо известные методы, с помощью которых можно построить, исходя из заданной меры х, некоторую положительную меру. Один из таких методов заключается в том, что рассматривается класс N измеримых множеств меры нуль, являющийся идеалом кольца S ( эти слова употребляются в их обычном алгебраическом смысле), и кольцо S заменяется фактор-кольцом S / N. Другой метод, равносильный только что описанному, заключается в том, что пишут E-F, если х ( ЕД / 7) 0, и затем, пользуясь рефлективностью, симметричностью и транзитивностью этого отношения, заменяют S множеством всех классов эквивалентных между собой ( относительно -) элементов. [30]