Cтраница 4
Теперь плоскость треугольника определена прямой и точкой, не принадлежащими друг другу, и по горизонтальной проекции любой фигуры, лежащей в плоскости, можно построить ее фронтальную проекцию различными способами. Однако примененный здесь способ вращения требует меньших вспомогательных построений и, что особенно ценно, позволяет очень просто проверить графическую точность построений. [46]
Итак, определитель оператора А - это коэффициент изменения ориентированного объема: при применении А ориентированный объем любой фигуры меняется в dct Л раз. Геометрически вовсе не очевидно, что растяжение объема для всех фигур одинаково ( даже в случае плоскости), ведь форма фигуры при линейном преобразовании сильно меняется. [47]
Аналогичным образом, заполняя соответствующую таблицу, можно находить число кратчайших путей между различными полями и для любых фигур. При этом доска может иметь произвольную форму и даже содержать запрещенные поля. [48]
Свойство фигур на аффинной плоскости называется аффинно инвариантным, если одновременно с фигурой X этим свойством обладает и любая фигура X, ей аффинно эквивалентная. Аналогично определяются аффинно инвариантные функции ( ср. [49]
Свойство фигур на пополненной плоскости называется конформно инвариантным, если вместе с некоторой фигурой X этим свойством обладает и любая фигура X, получающаяся из фигуры X произвольным конформным преобразованием. Изучение конформно инвариантных свойств составляет предмет конформной геометрии. [50]
Принципиально новое заключается в том, что для получения точно такого же предельного результата мы могли бы стартовать с любой фигуры, необязательно имеющей форму равностороннего треугольника. Это, например, мог быть круг или квадрат или любая другая замысловатая ( и даже несвязная) фигура, произвольным образом расположенная на плоскости. На каждом шаге уменьшаясь в размерах в два раза и утраиваясь в количестве, эти фигуры в конце концов превратились бы в неразличимые глазом бесформенные точки, образующие фрактал - салфетку Серпинского. [51]