Cтраница 2
Докажите, что алгебра L полупроста, если ее форма Киллинга невырожденна. Покажите на примере, что обратное неверно. [16]
Здесь, - билинейная форма на I, порожденная формой Киллинга ( ср. [17]
Докажите, что если алгебра L нильпотентна, то ее форма Киллинга тождественно равна нулю. [18]
Если / - идеал в алгебре Ли L, то форма Киллинга алгебры Ли / совпадает с ограничением на / формы Киллинга алгебры L. Отсюда вытекает одно из утверждений задачи, а доказательство второго сводится к случаю простой алгебры. [19]
Алгебра Ли L полупроста тогда и только тогда, когда ее форма Киллинга невырождена. [20]
Теоретически мы можем проверить алгебру Ли на полупростоту, вычислив ее форму Киллинга ( теорема 5.1); на практике это часто можно сделать гораздо проще. Два крайних случая - это абелевы и полупростые алгебры. Пусть теперь алгебра L редуктивна, но не абелева, так что алгебра L L / Z ( L) полупроста. Положим L М С Z ( L), где М - некоторый идеал. Из этих замечаний вытекает первое утверждение следующего предложения. [21]
Пространство SS является псевдоримановым симметрическим пространством: инвариантная метрика g на 8В порождается формой Киллинга B Bg. [22]
Имеется определенная аналогия между отсутствием сильно вложенных подгрупп в произвольной конечной простой группе и невырожденностью формы Киллинга при изучении полупростых алгебр Ли L. Последнее дает возможность заключить, что L имеет тривиальный радикал - результат, оказывающий глубокое влияние на внутреннее строение L. Подходящим аналогом радикала алгебры Ли L для конечных групп G служит Sol ( G) - наибольшая нормальная разрешимая подгруппа в G. Если G проста, то, безусловно, Sol ( G) и, в частности, 0 ( G) тривиальны. [23]
Неудивительно, что квадратичная форма / С на V, сохраняемая при действии D, оказалась формой Киллинга, ассоциированной с комплексной алгеброй Ли Es. Томпсон показал, что Aut ( Л) сохраняет / С. Томпсон также доказал, что D - наибольшая подгруппа в F3, сохраняющая указанное лиевское умножение. [24]
На самом деле можно даже отождествить ( канонически) L с L, Я с Я с помощью формы Киллинга ( невырожденной на L и на Я), причем действие групп G и W согласовано с такими отождествлениями. [25]
Известно, что все дифференцирования полупростых алгебр Ли являются внутренними ( т.е. имеют вид adx), так как форма Киллинга не вырождена. Так как KerAdZ ( G) - конечная группа и Кег ad 0, то размерности групп G, Ad G, Aut g и алгебр Ли g, Derg все совпадают. В частности, из Ad G с: с: ( Autg) следует, что имеет место равенство. [26]
Докажите, что алгебра L разрешима, если и только если [ L, L ] лежит в радикале формы Киллинга. [27]
В § 5 с помощью критерия разрешимости Картана ( в терминах следа) мы доказали, что полупростая алгебра Ли L имеет невырожденную форму Киллинга. Более общо, пусть алгебра L полупроста, а ср: L - 1 ( 1 /) - ее точное ( т.е. взаимно однозначное) представление. S является идеалом в L. В частном случае ср ad форма р совпадает с формой Киллинга. [28]
Возвращаясь к § 8, мы видим, что a соответствует / a, a av соответствует Ла при отождествлении Я с Я с помощью формы Киллинга. [29]
Тогда группа SOP изометрично вкладывается в стандартную сферу S - радиуса / р ( с центром в точке 0) как гладкое подмногообразие, на котором евклидова метрика р ( А, В) индуцирует двусторонне инвариантную риманову метрику, совпадающую с формой Киллинга. Алгебра Ли зор группы SOp вложена в пространство к как подпространство матриц X таких, что Хт - X, и пересечение sof f) SOp является компактным симметрическим пространством SOp / U ( p / 2), если р четно. Все векторы J, ( 1 a 8) лежат в плоскости зо ] 6т и, в силу условия антикоммутативности, все они попарно ортогональны. [30]