Cтраница 4
Компактная форма Gc строится так. Неподвижными точками этой инволюции являются косоэрмитовы матрицы со следом ноль. И в самом деле, вычисляя на этой вещественной форме G0 форму Киллинга, мы сразу получаем, что она отрицательно определена. [46]
Сразу же возникает вопрос, сколько функционально независимых функций в инволюции можно получить описанным способом. Рассмотрим сначала случай полупростой алгебры Ли G. Как обычно в этом случае, отождествим G и G с помощью формы Киллинга. Будем говорить, что инволютивное семейство функций полно на G, если из него можно выбрать ( 1 / 2) ( dim G - j - - f - ind G) функционально независимых функций. [47]
Обозначим через G0 множество неподвижных точек инволюции а на G. Из свойств ст следует, что G0 - вещественная подалгебра в G. Вообще говоря, ограничение формы Киллинга с объемлющей алгебры на произвольную ее подалгебру не совпадает с формой Киллинга этой подалгебры. Однако в случае вещественных форм ситуация более благоприятная. [48]
В § 5 с помощью критерия разрешимости Картана ( в терминах следа) мы доказали, что полупростая алгебра Ли L имеет невырожденную форму Киллинга. Более общо, пусть алгебра L полупроста, а ср: L - 1 ( 1 /) - ее точное ( т.е. взаимно однозначное) представление. S является идеалом в L. В частном случае ср ad форма р совпадает с формой Киллинга. [49]
Пусть каждая из пар ( L, Я) и ( L7, Я7) состоит из простой алгебры Ли и ее максимальной торической подалгебры. По определению изоморфизм Ф - Ф индуцирован изоморфизмом Е - Е7 соответствующих евклидовых пространств, который не обязательно является изометрией. Однако аксиомы систем корней остаются справедливыми при умножении скалярного произведения в Е или Е7 на положительное вещественное число. Поэтому мы вправе считать, что изоморфизм Ф - Ф7 порожден изометрией евклидовых пространств. В свою очередь ф индуцирует изоморфизм тс: Я - Я7, если с помощью формы Киллинга отождествить пространства Я, Я7 с двойственными. [50]