Cтраница 3
Линейный оператор ф имеет вид pXf ( X i) yabX Dt - ada-ladt X Dt, где ХХ 1 - однозначное разложение X по V - V ( &V - и Т, а D: Т - Т - произвольный линейный оператор, симметричный на Т по отношению к форме Киллинга. [31]
Если и - конечномерная полупростая алгебра Ли над полем характеристики О, то форма следа, ассоциированного с любым взаимно сднозначным представлением алгебры 8, невырождена. Если форма Киллинга невырождена, то алгебра 8 полупроста. [32]
Форма Киллинга на % и ее ограничение на f) невырождены. Ограничение формы Киллинга на t отрицательно определено. [33]
Ограничение формы Киллинга на картановскую подалгебру невырождено. Полное число всех корней, вообще говоря, больше г. Поэтому множество всех корней не является линейно независимым. Единственные корни, пропорциональные корню ат 0, это 0, а. Через Т0аТ обозначим подпространство в Т, порожденное всеми векторами Я с рациональными коэффициентами. [34]
Покажите, что форма Киллинга х на L совпадает с ограничением формы х и о т - рицательно определенна. [35]
Показать, что / пропорциональна форме Киллинга. [36]
Все так называемые полупростые алгебры Ли удовлетворяют этому условию. Re Sp ur ad ady) называется формой Киллинга на алгебре Ли. Полупростые алгебры характеризуются тем, что эта форма невырождена. [37]
Тогда х - симметрическая билинейная форма на L, которая называется формой Киллинга. [38]
Наибольшая часть классификации простых групп как раз и посвящена тому этапу доказательства, который связан с достижением сходства. Разветвленность задачи не имеет аналога в классификации комплексных простых алгебр Ли, поскольку там невырожденность формы Киллинга является настолько сильным критерием полупростоты, что анализ быстро сводится к только что описанным геометрическим задачам. Я думаю, что именно из-за необычайной краткости этой редукции мы оказываемся совершенно неподготовленными к степени сложности соответствующей задачи для простых групп. [39]
K, log a R - шаре радиуса R с центром в Здесь норма порождена формой Киллинга. [40]
Если группа G редуктивна, то, как мы увидим позднее ( § 26), Cu et C T. Для полупростых или редук-тивных алгебр Ли над полем характеристики 0 аналогичный результат доказывается довольно быстро при помощи формы Киллинга. [41]
Рассмотрим теперь левоинвариантные квадратичные функции Гамильтона на Т, связанные с методом сдвига аргумента. Точнее, рассмотрим уже хорошо знакомый нам класс функций 7и ( Х) f ( X Xa), где AeR, Си / принадлежит кольцу инвариантов IG алгебры Ли. Здесь, ) - форма Киллинга алгебры G, а операторы многомерного твердого тела были оп ределены выше. [42]
Обозначим через G0 множество неподвижных точек инволюции а на G. Из свойств ст следует, что G0 - вещественная подалгебра в G. Вообще говоря, ограничение формы Киллинга с объемлющей алгебры на произвольную ее подалгебру не совпадает с формой Киллинга этой подалгебры. Однако в случае вещественных форм ситуация более благоприятная. [43]
В пункте 8.5 мы показали, что рациональная оболочка системы Ф в Я имеет размерность t dimF Н над Q. При этом симметрическая билинейная форма, двойственная к форме Киллинга, продолжается на Е, превращая его в евклидово пространство. [44]
В противном случае представление ср точное ( так как Кег ср - идеал в L), поэтому форма ДА:, у) Чг ( р ( х) р ( у)) на L не-вырожденна. При этом она ассоциативна, и те же свойства имеет форма Киллинга, поэтому она в силу леммы равна а /, где а - ненулевой скаляр. То есть, элемент Казимира представления ср - ненулевое кратное образа универсального элемента Казимира. [45]