Cтраница 3
Сейчас мы имеем дело с полилинейными формами, которым отвечают ковариантные тензоры. Таким образом, мы прежде всего должны определить ковариантные поливекторы. Это определение следует сделать по абсолютной аналогии с определением контравариантных поливекторов, то есть ковариантным поливектором называть косой ковариантный тензор, а косой тензор определить как совпадающий со своей альтернацией. [31]
Так как s - k - тензор, то выражение, стоящее в левой части этого равенства, представляет скалярную функцию. Поэтому эта скалярная функция является полилинейной формой степени пять. Следовательно, числа а-у г являющиеся коэффициентами этой полилинейной формы, образуют тензор валентности пять. Точно так же эта теорема доказывается и в общем случае. [32]
Строго говоря, формальный подход, развиваемый Леффлером и Грюи-вальдом [64], не совсем совпадает с принятым в этой книге. При таком подходе конечное выражение не соответствует полилинейной форме и содержит члены, пропорциональные второй и более высокой степеням аргументов, никогда не встречаемые в корреляционных уравнениях, основанных на ЛЭСЭ. [33]
Теперь снова легко распространить результаты данной работы на класс разделимых монотонных полилинейных форм, устанавливая нижнюю оценку, равную половине числа простых имп-ликантов рассматриваемых функций. [34]
Это соответствие в более слабой форме продолжает иметь место и в случае полилинейных форм. [35]
Аналогично обстоит и с любой билинейной формой. О ней говорят по примеру Гиббса, что она определяет, в частности, некоторую диаду, если удается записать ее в виде произведения двух линейных форм. Имея однородную полилинейную форму точечных координат, можно с помощью несложного вычисления показать, что ее коэффициенты тоже подвергаются однородной и линейной подстановке, а именно, контрагредиентно по отношению к соответственным точечным координатам. [36]
Так как s - k - тензор, то выражение, стоящее в левой части этого равенства, представляет скалярную функцию. Поэтому эта скалярная функция является полилинейной формой степени пять. Следовательно, числа а-у г являющиеся коэффициентами этой полилинейной формы, образуют тензор валентности пять. Точно так же эта теорема доказывается и в общем случае. [37]
Здесь мы определим некоторые классы величии, родственные тензорам и включающие их как частный случай. Мы будем только предполагать, что в каждом базисе они задаются известным набором чисел ( координат) и что при переходе к новому базису эти числа преобразуются так же, как коэффициенты полилинейных форм. Переход к любому числу индексов тривиален. [38]
Глава состоит из шести параграфов, некоторые нз них занимают наибольший объем в рамках данной книги В § 3.1 приводятся определения и основные свойства линейных ограниченных и неограниченных операторов и их сопряженных. На конкретных примерах рассмотрено понятие обобщенной производной. В § 3.2 рассматриваются элементы спектральной теории операторов. В § 3.3 излагается спектральная теория компактных операторов. В § 3.4 изучаются операторы Гильберта - Шмидта, а также вольтерровы и ядерные операторы, определенные на сепара-бельных гильбертовых пространствах. В частности, приводятся условия на ядро заданного оператора, гарантирующие его ядер-ность. И, наконец, в § 3.6 мы переходим к изучению полилинейных форм, нелинейных ( полиномиальных) операторов и аналитических функции со значениями в гильбертовых пространствах. [39]