Cтраница 2
По квадратичной форме однозначно определяется и породившая ее симметрическая билинейная форма. [16]
Итак, соответствие между квадратичными и полярными им симметрическими билинейными формами является взаимно однозначным. При этом матрицы полярных квадратичной и билинейной форм совпадают и при невырожденных линейных преобразованиях переменных изменяются одинаково. Это дает возможность определить канонический и нормальный виды симметрической билинейной формы и сформулировать теоремы, аналогичные соответствующим теоремам для квадратичных форм. [17]
Скалярное произведение ( х у) в евклидовом пространстве является примером симметрической билинейной формы. [18]
У) ] Показать, что ( х, у) - невырожденная симметрическая билинейная форма и что две алгебры Кэли изоморфны тогда и только тогда, когда их формы ( х, у) эквивалентны. [19]
Скалярное произведение ( х, у) в евклидовом пространстве является примером симметрической билинейной формы. [20]
Таким образом, каждая квадратичная форма получается из одной и только одной симметрической билинейной формы. [21]
Внутреннее произведение А ( х) - Л ( у) определяет симметрическую билинейную форму, которая порождает квадратичную форму A ( A:) 2; следовательно, это билинейная симметрическая форма, соответствующая А ( л) [ 2, так как известно, что эта форма единственна. [22]
Заметим, что О2 е, откуда легко следует, ггто Ье - симметрическая билинейная форма. [23]
Так как форма ( р, о) симметрична и алгебра 91 коммутативна, то мы имеем симметрическую билинейную форму. [24]
Мы знаем, что скалярное произведение вектора с собой есть положительно определенная квадратичная форма, и обратно, каждая симметрическая билинейная форма, которой соответствует положительно определенная квадратичная форма, может быть принята за скалярное произведение. Поэтому всякая теорема о положительно определенных квадратичных формах является одновременно некоторой теоремой о векторах в евклидовом пространстве. [25]
В отличие от определенных в § 4 форм в вещественном пространстве, для которых соответствующее утверждение справедливо лишь для симметрических билинейных форм. [26]
Пусть BL ( l - 2) - ортогональная алгебра Ли в ( 21 - - ) - мерном пространстве, определенная невырожденной симметрической билинейной формой максимального индекса Витта. Неприводимый модуль со старшим весом Хг является спинорным модулем У1, определенным выше. [27]
В самом деле, аксиомы 1, 2, 3 скалярного произведения ( § 2) как раз и означают, что скалярное произведение есть симметрическая билинейная форма. [28]
Все изложенное допускает обобщение на случай е-эрмитовых форм над телом, обладающих свойством ( Т) ( см. Витта теорема), а также на случай симметрических билинейных форм, ассоциированных с квадратичной формой, без ограничений на характеристику ноля. [29]
Функция А ( х х), полученная из произвольной ( не обязательно симметрической) билинейной формы А ( х у), может быть получена и из симметрической билинейной формой. [30]