Cтраница 3
Количество единиц при квадратах в каноническом диагональном виде ( А) называют положительным индексом инерции, количество - 1 ( число r - k) - отрицательным индексом инерции, их разность - сигнатурой симметрической билинейной формы. [31]
Поскольку функция y -: f2 ( x y) является квадратичной, отображение ( у, z) ь - / 2 ( я; У 2) ПРИ фиксированном х определяет на V симметрическую билинейную форму. [32]
Определение 22.15. Симметрическая билинейная форма называется канонической, если ее матрица диагональна. Каноническим видом симметрической билинейной формы называется любая эквивалентная ей каноническая форма. [33]
Тогда х - симметрическая билинейная форма на L, которая называется формой Киллинга. [34]
Недавно Саймон Дональдеон открыл новый тип препятствия к сглаживаемости четырехмерных многообразий. Годом раньше Майкл Фридман классифицировал все компактные односвязные топологические четырехмерные многообразия и установил, что каждая унимодулярная симметрическая билинейная форма реализуется как форма пересечений некоторого топологического четырехмерного многообразия. Рассматриваемые вместе эти результаты дают много примеров несглаживаемнх четырехмерных многообразий с нулевым инвариантом Керби - Зибенманна. Сколько всего таких фальшивых R4, пока неизвестно, хотя несколько экзотических структур уже найдено. Если это так, то задача классификации гладких структур, которая в высших размерностях решается с помощью характеристических классов и, следовательно, является дискретной, может попасть во владения геометрии. Подобно тому как существуют непрерывные пространства модулей комплексных структур на римановых поверхностях, могут существовать пространства модулей гладких структур на четырехмерных многообразиях. Как бы то ни было, теорема Дональдсона показывает, что гладкие структуры в размерности 4 нельзя описать в терминах поднятий касательного расслоения, т.е. в терминах характеристических классов. [35]
В пункте 8.5 мы показали, что рациональная оболочка системы Ф в Я имеет размерность t dimF Н над Q. При этом симметрическая билинейная форма, двойственная к форме Киллинга, продолжается на Е, превращая его в евклидово пространство. [36]
Строение алгебр С и С известно. Мы сформулируем лишь то, что требуется для теории представлений алгебр В [ и Dt. Для них симметрическая билинейная форма ( д:, у) не вырождена и имеет максимальный индекс Витта. Изоморфизм можно явно определить следующим образом. [37]
Примером симметрического билинейного функционала может служить скалярное произведение векторов пространства со скалярным произведением. Последний пример является вполне общим, так как и, обратно, каждый симметрический билинейный функционал А ( х, у) удовлетворяет, очевидно, условиям 1 - 3 из § 1 главы IV и, значит, может быть принят за скалярное произведение. Заметим, что по квадратичной форме породившая ее симметрическая билинейная форма определяется однозначно. [38]
Итак, соответствие между квадратичными и полярными им симметрическими билинейными формами является взаимно однозначным. При этом матрицы полярных квадратичной и билинейной форм совпадают и при невырожденных линейных преобразованиях переменных изменяются одинаково. Это дает возможность определить канонический и нормальный виды симметрической билинейной формы и сформулировать теоремы, аналогичные соответствующим теоремам для квадратичных форм. [39]
Тогда совокупность всех матриц X е М ( Ф), таких, что 1 - f - еХ е 0 ( Ф [ е ]), является подалгеброй алгебры Ли gl ( n, Ф), называемой алгеброй Ли алгебраической группы G ( [81], с. Например, ортогональная алгебра Ли o ( V) пространства V относительно невырожденной симметрической билинейной формы / является алгеброй Ли ортогональной группы этой формы, а симплектическая алгебра Ли - алгеброй Ли сим-плектической группы. [40]
КЛИФФОРДА АЛГЕБРА - конечномерная ассоциативная алгебра над коммутативным кольцом, впервые рассмотренная У. Пусть К - коммутативное кольцо с единицей, Е - свободный АГ-модуль, Q - квадратичная форма на а. ЕХЕ-ь-К - ассоциированная с Q симметрическая билинейная форма. Для нулевой квадратичной формы Q алгебра С ( Q) совпадает с внешней алгеброй А. Если A - R - поле действительных чисел, a Q - невырожденная квадратичная форма на и-мерном векторном пространстве Е над R, то C ( Q) совпадает с алгеброй M, i альтернионов, где I - число положительных квадратов в канонич. [41]
Назовем ( модуль М конечномерным, если существует такое п, что никакой подмодуль модуля М не разлагается в прямую сумму, содержащую более чем п слагаемых. Кертес [58], а также Розен-берг и Зелинский [34] определили радикал модуля как пересечение максимальных подмодулей. Если на V задана невырожденная симметрическая билинейная форма, то естественным образом можно говорить об ортогональной группе. [42]
Имеются лишь, две возможности: либо К - поле, / - 1 и / - кососнм-метричоская билинейная форма, либо, умножая / на подходящий скаляр и меняя /, можно добиться того, чтобы / стала эрмитовой формой или косоэрмитовон формой. Это обозначение не содержит /, поскольку все невырожденные знакопеременные формы на Е эквивалентны и определяют изоморфные симплек-тпч. В этом случае п четно. Для эрмитовых, н косоэрмитовых форм выделяется случай, когда К - поле характеристики, отличной от 2, / 1, а / - симметрическая билинейная форма. [43]
Матрица А ( а) еУИ ( Ф) называется нулем системы многочленов Ра ( ( /) - [ / ] если Pa ( aii) - Q Для всех а. Говорят, что система [ ра ] определяет алгебраическую группу над Ф, если для любой ассоциативно-коммутативной Ф - алгебры К с единицей множество G ( K. X е 0 ( Ф [ е ]), является подалгеброй алгебры Лн gl ( n, Ф), называемой алгеброй Ли алгебраической группы G ( [81], с. Например, ортогональная алгебра Ли o ( V) пространства V относительно невырожденной симметрической билинейной формы / является алгеброй Ли ортогональной группы этой формы, а симплектическая алгебра Ли - алгеброй Ли сим-плектической группы. [44]