Cтраница 3
Для функций, осуществляющих аналитическое продолжение в комплексную плоскость, здесь выводятся формулы для предельных значений ( аналоги формул Сохоцкого), посредством которых уравнения сводятся опять-таки к краевой задаче Римана. [31]
Введем теперь интеграл типа Коши с плотностью & ( t) и представим функцию со ( 0 согласно формулам Сохоцкого - Племеля (1.14) гл. [32]
Введем теперь интеграл типа Коши с плотностью в ( /) и представим функцию о ( /), согласно формулам Сохоцкого - Племеля ( 1Л4) гл. [33]
Так как от функций Ф ( i) мы пе требовали, чтобы они удовлетворяли условию Гольдера, то нельзя утверждать, что формулы Сохоцкого для предельных значений будут справедливы всюду на контуре; опп будут справедливы только почти всюду. По в уравнении (17.9) и первый член есть функция непрерывная, и второй член, в силу доказываемого ниже свойства ядра, будет также функцией непрерывной. Если же равенство, в котором все члены непрерывны, удовлетворяется почти всюду, то оно удовлетворяется везде. Таким образом, уравнение (17.0) справедливо для всего коп тура. [34]
Так как от функций Ф - - ( t) мы не требовали, чтобы они удовлетворяли условию Гельдера, то нельзя утверждать, что формулы Сохоцкого для предельных значений будут справедливы всюду на контуре; они будут справедливы только почти всюду, ilo в уравнении (17.9) и первый член есть функция непрерывная, и второй член, в силу доказываемого ниже свойства ядра, будет также Функцией непрерывной. Если же равенство, в котором все члены непрерывны, удовлетворяется почти всюду, то оно удовлетворяется везде. Таким образом, уравнение (17.9) справедливо для всего контура. [35]
L - простая спрямляемая линия, состоящая из конечного числа дуг определенной вогнутости, и ф ( t) принадлежит классу X ( L), то почти всюду имеют место формулы Сохоцкого - Племе-ля ( 16 2), когда z стремится к t0 на L по любым некасательным путям. [36]
Следующее по времени исследование предельных значений интеграла типа Коши было сделано Гарнаком [ Нагпас 1) ] в 1885 г. Этот автор разлагает интеграл типа Коши на сумму двух потенциалов ( см. § 10) и выводит формулы Сохоцкого, опираясь на формулы для предельных значений потенциала двойного слоя. На плотность и контур накладываются жесткие ограничения. Работа Гарнака также не оказала значительного влияния на последующие исследования: они пошли, хотя и независимо от работ Сохоцкого, по пути, намеченному им, - рассмотрения интеграла типа Коши как единой комплексной функции. [37]
Регуляризация состоит в вырезании из L части, содержащейся в круге радиуса е с центром в о. Когаи дается формулами Сохоцкого ( I - я М) - 1 infi ( - а) Р ( - а) 1, определяющими обобщенную ф-цию Р ( - я) 1 через граничное значение аналитич. [38]
Потенциал простого слоя ведет себя при переходе через контур как функция непрерывная, причем интеграл (10.6) нужно понимать в смысле главного значения. Суммируя оба члена, получим формулы Сохоцкого. [39]
Дифференцируя последнюю формулу последовательно т раз, получим интегральное представление всех производных Ф ( г) до тп-го порядка. Лишь m - я производная, представляющаяся интегралом типа Коши (34.19), при переходе к краевым значениям даст по формуле Сохоцкого особое ядро Коши. [40]
По условию функция Ф ( г), заданная формулой (36.40), определена в дополнительной по отношению к D области. DW-I будут внутренними однородными, для области D - m внутренней неоднородной и для области DQ внешней однородной. При этом по смыслу применения формул Сохоцкого все контуры должны обходиться против часовой стрелки. Имеем t ( s) eia (), где a - угол, образованный касательной к кривой с осью абсцисс. [41]
Преобразование Лапласа ( 8), как уже отмечалось, является интегралом типа Коши, которь можно аналитически продолжить на всю комплексную плоскость. Функция К ( р) регулярна везде, кроме точек промежутка [ - Ь, - а ] на котором она ветвится. В окрестности этих точек ее поведение определяется формулами Сохоцкого - Племеля ( см., например, [10]) краткий вывод которых мы сейчас приведем. [42]
Примером применения указанного метода является данное в § 21 решение характеристического особого интегрального уравнения с ядром Коши. Аналитическое продолжение в комплексную плоскость там осуществляется интегралом типа Коши, для которого искомое решение уравнения служило плотностью. Аналогичный метод с надлежащими изменениями позволяет получить в замкнутой форме решения некоторых других типов уравнений. В § 51 и 52 будут рассмотрены особые интегральные уравнения с ядрами автоморфного типа, главная часть которых есть ядро типа Коши. Здесь используются формулы Сохоцкого. [43]