Cтраница 3
Формулы Гаусса дают хоровтуго точность при небольшом числе узлов. [31]
Формулу Гаусса нетрудно распространить на более общие области. Достаточно потребовать, чтобы область О можно было разбить с помощью конечного числа поверхностей с непрерывно изменяющейся касательной плоскостью на конечное число частичных областей ( ячеек) Qk, обладающих нужным нам свойством, что всякая прямая, параллельная какой-либо из осей координат и проходящая через внутреннюю точку ячейки Gft, пересекает границу последней точно в двух точках. Для всякой ячейки Qk теорема Гаусса верна. Выпишем формулы Гаусса для всех Ok и сложим их. [32]
Формулу Гаусса - Остроградского можно записать в плоском случае, когда О есть область в плоскости ( х, у) и а ( х, у) - Р ( х, y) i - - Q ( х, у) Ъ - определенное на ней поле. [33]
Применим формулы Гаусса к одному частному случаю. Определим притяжение эллипсоидом вращения. Имеем эллипсоид вращения вокруг меньшей оси, которая есть ось координат Oxt так как по предположению ЛЯС ( фиг. [34]
Применение формулы Гаусса для численного интегрирования позволяет получать результаты с большой точностью при вычислении значений функции в небольшом числе узлов и поэтому весьма выгодно. Однако здесь, возникают затруднения с оценкой погрешности получаемых результатов. Оценка производных высоких порядков ( остаточный член формулы Гаусса содержит производную / ( 2п) ( 1)), как уже было сказано в § 22, практически недоступна. [35]
По формуле Гаусса - - Остроградского левая часть равенства (7.53) равна интегралу второго рода по поверхности, ограничивающей объем: 0т t - сг, 0: /, 0 т): Сг. При переходе к пределу следует учесть, что функции Р ( х, t) и 7i ( i i 0 убывают достаточно быстро при 1 1 1 - оо, так что все встречающиеся интегралы сходятся. [36]
Как показывает формула Гаусса, наибольшее намагничение соответствует равномерно намагниченному шару, который, по нашему предположению, и дает вековые вариации. Остальные члены ряда, изображающего потенциал земли, быстро убывают, причем с увеличением расстояния от поверхности земли это убывание делается все больше и больше, так что на значительном расстоянии от поверхности земли влияние членов, изображающих магнитное состояние оболочки земли, должно сделаться ничтожно-малым. Подобное явление мы должны наблюдать и в местах, обнаруживающих аномалию силы тяжести. При подъеме над местом аномалии мы должны получать все меньше и меньше влияния находящихся под поверхностью земли горных пород. Для разыскания аномальных в магнитном отношении мест, которые, как мы указывали выше, могут быть связаны не только с железными рудами, но и с солевыми залежами и нефтеносными отложениями, представляется очень важным изучение магнитного поля на разных высотах над землей. В идеале мы должны себе представить дело таким образом, что быстро регистрирующие магнитное поле инструменты должны перемещаться параллельно поверхности земли при помощи аэроплана или дирижабля и записывать все изменения магнитного поля. Если проделать также измерения на разных высотах, мы сразу могли бы выделить аномальные в магнитном отношении места и упростить. [37]
Однако для формулы Гаусса при изменении п значения точек и узловых коэффициентов не совпадают; поэтому, выбрав значения узловых точек и коэффициентов, распределяют их между первым и вторым вычислением интеграла. Оценить точность вычислений можно, сравнив между собой полученные в первом и втором случаях результаты. [38]
Это есть формула Гаусса. [39]
Итак, формулы Гаусса могли бы быть положены в основу универсальных программ вычисления интегралов от функций. Некоторое практическое неудобство представляет следующее обстоятельство. Мы не можем обычно заранее сказать, с каким числом узлов потребуются квадратуры Гаусса при вычислении интегралов с заданной точностью. Поэтому потребуется вводить в машину или переписывать с запоминающих устройств в оперативную память узлы и веса этих квадратур, соответствующие все большим значениям п, что несколько затормозит вычисление интегралов, особенно на малых машинах. Следует также отметить, что во многих случаях возникает задача вычисления интегралов, где подынтегральная функция или ее производные невысокого порядка имеют участки резкого изменения, например обращаются в бесконечность. Такие функции плохо приближаются многочленами сразу на всем отрезке интегрирования. Здесь часто оказывается более выгодным разбить исходный отрезок - на части и там применять формулы Гаусса или какие-либо иные формулы. [40]
Тензорная форма формулы Гаусса - Остроградского ( 31) получает применение в следующем параграфе при выводе уравнений равновесия сплошной среды. [41]
Некоторым неудобством формулы Гаусса является иррациональность ее узлов и весов в общем случае. [42]
Остаточный член формулы Гаусса имеет сложную структуру и, как правило, редко может быть использован при решении конкретных задач. [43]
Входящий в формулу Гаусса параметр о является важнейшей характеристикой генеральной совокупности случайных величин, в частности, погрешностей равноточных измерений. [44]
Это и есть формула Гаусса. [45]