Cтраница 2
Аксиомам исчисления предикатов соответствуют выводимые формулы исчисления высказываний. [16]
Следовательно, Я есть выводимая формула исчисления высказываний, что и требовалось доказать. [17]
В частности, запас выводимых формул, не содержащих ни одного из введенных индивидных символов, для первоначальной и для модифицированной системы аксиом будет одним и тем же, а отсюда, в частности, вытекает, что в отношении непротиворечивости обе эти системы одинаковы. [18]
Мы докажем, что интуиционистски выводимые формулы всегда принимают значение И, а формула pV - р не такова, и потому не выводима. [19]
Случай, когда И - выводимая формула, очевиден. [20]
В табл. 5 - 1 даны легко выводимые формулы для определения эквивалентного по теплоте тока при разбивке кривой тока на один и два участка. [21]
&, V - - множество выводимых формул которых задается с помощью системы аксиом с правилами вывода modus ponens и подстановки. [22]
Поставим вопрос о соотношении между понятием выводимой формулы описанного исчисления и рассмотренным в главе III содержательным понятием тождественно истинной формулы. Нетрудно видеть, что каждая выводимая формула исчисления предикатов является в то же время и тождественно истинной в наивном теоретико-множественном смысле. Во-первых, очевидно, что аксиомы исчисления предикатов тождественно истинны. Во-вторых, применение правил вывода исчисления предикатов к тождественно истинным формулам приводит к тождественно истинным формулам. Это очевидно для правила заключения. Для правил переименования свободных и связанных переменных это также очевидно. [23]
Заметим сразу же, что всякие две выводимые формулы исчисления высказываний эквивалентны. [24]
Данный результат, выражающий включение мно жества выводимых формул в множество общезначимых, служит примером метатеоремы. В нашем изложении все выражения, перед которыми стоят слова теорема, лемма или следствие, фактически являются метатеоремами. [25]
Дальше можно показать, что правила получений выводимых формул исчисления предикатов для соответ ствующих формул без кванторов переходят в правила в силу которых из правильных формул получаются снов правильные формулы исчисления предикатов. [26]
Покажем, что выводимым формулам исчисления предикатов соответствуют выводимые формулы исчисления высказываний. [27]
Для нашего доказательства непротиворечивости достаточно показать, что каждая выводимая формула без переменных при естественном распределении истинностных значений, складывающемся из выделенного распределения истинностных значений для равенства, рекурсивной процедуры вычисления постоянных сумм и произведений и из истолкования связок исчисления высказываний как истинностных функций, является истинной. Поэтому для нашего доказательства достаючно будет рассматривать только выводы формул без переменных. [28]
На основании правила заключения утверждаем, что В - выводимая формула. Произведя подстановку в В произвольной формулы 23, находим, что 23 - выводимая формула. Таким образом, и для исчисления предикатов обнаружение какой-либо невыводимой формулы является доказательством ее непротиворечивости. [29]
Тогда мы получим некоторую формальную систему, в которой выводимы все выводимые формулы исчисления предикатов, но вместе с ними выводимы и другие, не выводимые в исчислении предикатов формулы. Это всегда имеет место, если хотя бы одна из формул Vti не выводима в исчислении предикатов. [30]