Cтраница 4
Так как формула ( 1) свободных переменных не держит, то формула ( 3), если она правильная, долж быть выводимой формулой исчисления высказывани. Однако легко видеть, что формула ( 3) не является вы. [46]
Мы пишем здесь переменные р и q, а не произвольные формулы, поскольку результат подстановки некоторых формул вместо р и q может быть выводимой формулой. [47]
С учетом определений, данных нами для вычисления значений арифметических функций, а также истинностных значений равенств между цифрами и значений истинностных функций, всякая выводимая формула без переменных является истинной. [48]
В самом деле, исчисление предика 4 тов содержит в числе своих аксиом все аксиомы исчис - ления высказываний, а в числе правил образования выводимых формул - оба правила вывода исчисления) высказываний: правило заключения и правило подста - новки. В применении к формулам исчисления высказы - rj ваний эти два правила исчисления предикатов совпадают. Таким образом, мы можем, применяя правила к аксиомам, получить все выводимые формулы -; исчисления высказываний. Вопрос о том, существуют ли формулы исчисления высказываний, выводимые B j исчислении предикатов, но не выводимые в исчислении высказываний, решается отрицательно. Это легко еле; дует из непротиворечивости исчисления предикатов и. [49]
Подстановкой в выводимые формулы исчисления ] высказываний можно легко получить многие выводи - мые формулы исчисления предикатов; однако таким об - j разом всякую выводимую формулу исчисления преди катов вывести нельзя. [50]