Квадратурная формула - гаусс
Cтраница 3
Соотношениями (1.5) - (1.8) задаются различные представления характеристической функции. Коэффициент при zfe в разложении функции Em ( z) дает ошибку интегрирования по квадратурной формуле Гаусса. [31]
Интегрирование в ( 51) выполняется с учетом указанной особенности этой функции и рассматриваются два случая расположения узловой точки sn: а) точка sn расположена вне элемента, по которому выполняется интегрирование; б) точка sn принадлежит элементу, по которому выполняется интегрирование. В первом случае функции в ( 51) являются ограниченными и интегрирование выполняется по квадратурным формулам Гаусса. [32]
Это позволяет заменить интегралы по окружности 1 ( х) в (2.25), (2.27) интегралами по половине окружности. В силу аналитичности подынтегральных выражений в этих интегралах целесообразно для приближенного вычисления интегралов воспользоваться квадратурными формулами Гаусса. [33]
Уравнение (111.95) получено ранее [337] для определения асимптотического решения интегрального уравнения периодической задачи [50] в случае системы параллельных трещин большой длины. При а ( х) - - а const найдено численное решение этого уравнения с помощью квадратурных формул Гаусса - Эрмита для обычного ( см. [236], с. Покажем, что уравнение ( II 1.95) может быть численно решено также на основе квадратурных формул Гаусса - Чебышева. [34]
В этом смысле формулы Гаусса лучше для функций, имеющих производные высоких порядков. Если же функция имеет только кусочно-непрерывную первую производную, то лучшей может оказаться формула трапеций. Имеются обобщения квадратурных формул Гаусса, которые оказываются точными для тригонометрических полиномов и других специальных функций. [35]
В этом смысле формулы Гаусса лучше для функций, имеющих производные высоких порядков. Если же функция имеет только кусочно-непрерывную первую производную, то лучшей может оказаться формула трапеций. Имеются обобщения квадратурных формул Гаусса, которые оказываются точными для тригонометрических полиномов и других специальных функций. [36]
Поверхность тела представляется при помощи четырехугольных и треугольных элементов с квадратичным изменением формы и линейным, квадратичным или кубическим изменением перемещения и вектора напряжений относительно внутренней системы координат. Тело разбивается на подобласти; производится дискретизация интегрального уравнения для каждой подобласти, и получается система уравнений ленточного типа. Для вычисления интегралов используется квадратурная формула Гаусса, число узлов в которой выбирается на основании верхней оценки для ошибки, определенной по значениям производных от подынтегральных выражений. Масштаб коэффициентов в уравнениях выбирается таким образом, чтобы получить устойчивую при счете систему, разрешимую методом исключения без итерации остатков. Поблочное решение уравнений позволяет рассматривать большие задачи. В программе используется большое число процедур, осуществляющих контроль и автоматическое формирование данных. Результаты решения задачи о фланце трубопровода и характеристики выполнения программы сравниваются с результатами, полученными методом конечных элементов, и экспериментальными результатами. [37]
Уравнение (111.95) получено ранее [337] для определения асимптотического решения интегрального уравнения периодической задачи [50] в случае системы параллельных трещин большой длины. При а ( х) - - а const найдено численное решение этого уравнения с помощью квадратурных формул Гаусса - Эрмита для обычного ( см. [236], с. Покажем, что уравнение ( II 1.95) может быть численно решено также на основе квадратурных формул Гаусса - Чебышева. [38]
Другой способ заключается в том, что положения точек 4 не задают заранее. Их определяют из условия, чтобы квадратурная формула (5.91) при фиксированном числе п имела максимально высокий порядок. Получающиеся отсюда 2п уравнений позволяют найти 2п неизвестных аг и г. Формулы численного интегрирования, построенные таким способом, имеют порядок 2п - 1 и носят название квадратурных формул Гаусса. Интегрирование по Гауссу требует при одинаковой степени точности почти вдвое меньшего числа точек, чем в случае использования формул Ньютона-Котеса. Вычисление подынтегральных функций связано обычно со значительными затратами машинного времени, вследствие чего формулы Ньютона - Котеса в методе конечных элементов практически не применяются. [39]
Для оценки погрешности приближенных методов Г. В. Иванов ( 1966) рассмотрел простейший случай элемента пластины, к которому приложены продольная сила и момент в том же направлении. Расчет производился на основе вариационного уравнения Д. Л. Сандерса и др., в котором варьируются скорости напряжений и перемещений. Для рассматриваемой задачи достаточно было варьировать скорости напряжений. В качестве эталонного принималось решение, полученное в результате замены интегралов по толщине квадратурной формулой Гаусса с 15 узлами; с ним сравнивался результат, полученный по методу В. И. Розенблюма при линейном законе распределения напряжений по толщине и при аппроксимации этого распределения четырьмя членами разложения по полиномам Лежандра. Последняя аппроксимация дает всегда хороший результат, для других можно указать области значения параметров, для которых они удовлетворительны. [40]
 |
Разбиение области. [41] |
Итак, расчет обменной компоненты в энергии взаимодействия (3.11) сводится к вычислению двойных интегралов. Аналогичная ситуация имеет место для кинетической и кулоновской энергий и, как будет видно ниже, т кже и для корреляционной энергии. Таким образом, в статистическом методе задача вычисления потенциала мелшолекулярпого взаимодействия сводится к квадратурам. Функции электронных плотностей рд и р могут быть взяты как в аналитическом ( приближение Рутана), так и в табличном виде. При числеппом интегрировании рекомендуется с учетом сложности области интегрирования применять квадратурные формулы Гаусса - Ложапдра. [42]
Страницы: 1 2 3