Разностная формула
Cтраница 3
В точке z 0 мы получаем шесть нелинейных уравнений ( 6.3.40 а) и ( 6.3.42 а) относительно шести неизвестных t ] i, r) 2, r) 5, r) 6, s и Da. Эту систему можно решать методом Ньютона, причем матрица Якоби вычисляется с помощью уравнений в вариациях, либо исходя из соответствующих разностных формул. Пример сходимости метода Ньютона к точке комплексной бифуркации представлен в табл. 6.11. При этом соответствующие итерации сходятся к точке, которая лежит на ветви решений с высокой выходной степенью конверсии у ( 1) ( ср. Метод легко обобщается на задачи с большим числом уравнений, но размерность возникающих при этом ( конечномерных) задач, очевидно, возрастает. [31]
Решение этих уравнений позволяет нам найти точку комплексной бифуркации. Для нахождения решения можно воспользоваться методом Ньютона, а для вычисления элементов матрицы Якоби в методе Ньютона можно частично ( для нахождения производных от / n i и fn 2) использовать разностные формулы. Можно использовать и аналитические выражения, однако в случае больших п это может оказаться весьма трудоемким. [32]
Введенная выше система обозначений в разностных формулах, согласно которой величины, относящиеся к различным узлам сетки и различным моментам времени, имеют индексы, соответствующие номерам узлов и моментов времени, является удобной при программировании задачи для решения на ЦВМ. В программе организуются счетчики номеров узлов по координатам и времени, имеющие те же обозначения, что и индексы у величин в формулах, и не представляет труда чисто формально перейти от разностных формул к формулам в программе, записанной на одном из алгоритмических языков или в машинном коде. Однако в теории упругости используется своя система обозначения величин. Если к этим индексам добавить еще номера узлов сетки, то обозначение получится слишком сложным. [33]
В осесим-метричном случае необходимо произвести дополнительный пересчет, учитывая расстояние данной дробной ячейки до оси симметрии. Разностные формулы для дробных ячеек легко получить из разностных выражений для целых ячеек. [34]
Чтобы помочь читателю ориентироваться в этих вопросах, мы обращаем внимание на статьи Бачелета [1952] и Гизе [1958], в которых рассматривается погрешность метода для граничных условий, не являющихся условиями типа Дирихле, В довольно большой статье Бачелета применяется описанный выше общий метод Гершгорина к третьей граничной задаче. Статья Гизе посвящена задаче Неймана для прямоугольника и использует метод рядов Фурье, предложенный Вазовым [1952] для задачи Дирихле. Гизе использует разностную формулу (20.51) для Aft и центральную разностную аппроксимацию нормальной производной и а границе. [35]
Однако повышать порядок аппроксимации хорошо только до тех пор. Замечено, что при большом числе точек птлблопа вычислительный процесс может быть неустойчивым. Например, если в разностной формуле сохраняется чередование знаков перед членам. [36]
Заметим, что в данном случае для одной итерации метода Ньютона нам приходится интегрировать систему 12 дифференциальных уравнений первого порядка. При аппроксимации элементов матрицы Якоби соответствующими разностными формулами нужно трижды интегрировать систему 4 - х дифференциальных уравнений первого порядка. При этом объем вычислений для большой группы различных функций f и g оказывается приблизительно одинаковым. Иногда, правда, удается существенно сократить затраты машинного времени при переходе к вариационным уравнениям, например, при появлении функций exp, sin, cos, дифференцирование которых дает те же функции. [37]
Уравнения (5.4.0), (5.4.12) и (5.4.13) ( или (5.4.14)) образуют систему 2п - - 1 нелинейных уравнений относительно In 1 неизвестных составляющих х, v, а. Построение матрицы Якоби для применения метода Ньютона требует вычисления вторых производных функций / - или использования соответствующих разностных формул. [38]
 |
Зависимость дав - [ IMAGE ] Зависимость С от температуры. [39] |
Затем для расчета соответствующих производных к кривым в точке 1 проводят касательные. По тангенсу угла наклона касательных к оси абсцисс рассчитывают численное значение производной. Производные можно также рассчитывать с помощью интерполяционного полинома Лагранжа, методом неопределенных коэффициентов, с помощью разностных формул численного дифференцирования с применением ЭВМ. [40]
Рассматривается задача дифференцирования для класса гладких скалярных функций. Определены понятия порядка метода и порядка информации. Показано, что максимальный порядок методов, использующих фиксированную информацию, равен порядку информации. Дока - зано, что порядок центральной разностной формулы максимален. [41]
Вторая причина - чередование знаков перед членами уравнения и вызывает накопление таких погрешностей, которые имеют такое же чередование знаков. Чередование знаков получилось у нас не случайно. При замене дифференциальных уравнений разностными, знаки как правило, чередуются. Например, все разности от первой до четвертой на рис. 1.17 имеют чередующиеся знаки. Чередование знаков получается и при построении разностных формул нз физических соображений. Однако это не значит, что фор. Чередование знаков создает вторую предпосылку для неустойчивости. [42]
В приведенной форме метод Лакса - Вендроффа является явным и имеет второй порядок точности. Он дает хорошие результаты для гладких течений при отсутствии резких градиентов и разрывов. В общем случае, когда присутствуют сильные ударные волны, необходимо добавлять в уравнения искусственную вязкость. Различные модификации этого метода широко используются в аэродинамических расчетах. Оба подхода дают одну и ту же окончательную разностную формулу для одномерных уравнений в консервативной форме (1.21) - (1.23), но формулы для двумерных уравнений различны. [43]
В приведенной форме метод Лакса - Вендроффа является явным и имеет второй порядок точности. Он дает хорошие результаты для гладких течений при отсутствии резких градиентов и разрывов. В общем случае, когда присутствуют сильные ударные волны, необходимо добавлять в уравнения искусственную вязкость. Различные модификации этого метода широко используются в аэродинамических расчетах. Оба подхода дают одну и ту же окончательную разностную формулу для одномерных уравнений в консервативной форме (1.21) - (1.23), но формулы для двумерных уравнений различны. [44]
На рассматриваемом контуре 1, поэтому под знаком интеграла в выражениях для ж, у содержится только нормальная производная функции тока на границе. Нормальная производная на границе вычисляется по односторонней разностной ( двухточечной) формуле с поправкой О ( / г), пропорциональной второй нормальной производной. Последняя, в свою очередь, выражается из уравнения Чаплыгина через вторую тангенциальную производную, равную нулю, и через первую производную т / v, которая либо является нормальной производной, либо также равна нулю как тангенциальная производная. Этот прием позволяет вычислить нормальную производную на границе с погрешностью O ( h2) по двухточечной разностной формуле. [45]
Страницы: 1 2 3