Cтраница 3
ГАУССА ВАРИАЦИОННАЯ ЗАДАЧА - вариационная задача, исследованная впервые К. Гауссом [1] и в современных терминах формулируемая следующим образом. [31]
Иногда утверждают, что проблема принятия решения возникла лишь в связи с появлением кибернетики, однако это фактически неверно. Проблема принятия решения - это одна из классических философских проблем, формулируемая как проблема свободы воли. Может ли человек принимать решение, осуществляя сознательный выбор действия или не может, потому что все его решения заранее предопределены - в этом основное содержание проблемы свободы воли. С кибернетикой же связаны лишь новые аспекты, новые подходы к проблеме принятия решения. Следовательно, для того, чтобы не допускать искусственного обновления старых проблем, необходимо рассеять недоразумение относительно того, что проблема принятия решения возникла сравнительно недавно. [32]
Упругостью называется свойство материала, благодаря которому деталь восстанавливает после снятия нагрузки свои первоначальные форму и размеры. При упругом состоянии имеется однозначная зависимость между нагрузкой и деформациями, формулируемая по закону Гука в общем виде так: деформация пропорциональна нагрузке. [33]
Из сказанного выше ясно, что система Л, V, - i является полной. Ответ на вопрос о полноте произвольной системы Т дает теорема Поста, формулируемая ниже. [34]
Кинетическая энергия имеет размерность работы. Связь между кинетической энергией и работой устанавливает теорема об изменении кинетической энергии, формулируемая так: изменение кинетической энергии материальной точки на некотором пути равно работе силы, приложенной к точке, на том же пути. [35]
Методика автоматизированного проектирования алгоритмического обеспечения позволяет уделить больше внимания специфическим качественным показателям разрабатываемых систем. При построении АО могут быть использованы различные модули, реализующие одни и те же типовые операции, поэтому возникает задача проектирования АО, формулируемая как задача определения перечня модулей и значений их параметров, оптимизирующих соответствующий критерий качества. Решение задачи проектирования требует использования специальных средств, позволяющих получать оценки различных вариантов построения АО и выбирать оптимальный вариант. Предлагаемая методика ориентирована на применение в качестве таких средств пакета программ автоматизированного проектирования, описанного в четвертой главе. [36]
Вторая проблема изучающего теорию вероятностей связана с используемым математическим аппаратом. Дело в том, что уже самые простые модели приводят к вопросам, не вмещающимся в рамки элементарной теории. Так, формулируемая на уровне комбинаторной вероятности задача о разорении игрока для своего логически точного обоснования требует обращения к несчетным пространствам элементарных событий и построению вероятностной меры на них. Следствием указанных проблем часто оказывается то, что теория ве-роятр оетей превращается в полуфизнческую науку, причем студент, как правило, не приобретает достаточного умения решать типовые задачи ни на уровне содержательнь х рассуждений, ни тем более на должном уровне строгости. [37]
В книге, если не считать нескольких мелких замечаний, совершенно не отражены вопросы истории развития предмета. При формулировке многих теорем указывается их автор, но следует иметь в виду, что это носит часто несколько условный характер. Иногда теорема, приписываемая тому или другому математику, в действительности является более поздним обобщением или усилением доказанного им утверждения. Или, наоборот, формулируемая в книге теорема является лишь частным случаем более общей теоремы, доказанной ее автором. [38]
Возможны два принципиально различных подхода к решению электротехнических задач и рассмотрению электромагнитных явлений: 1) с использованием интегральных величин, характеризующих работу устройства в целом; 2) с применением дифференциальных понятий, характеризующих состояние того или иного материала в разных местах устройства. Так например, расчет электрической цепи, в которую включены различные приемники электрической энергии ( лампы, двигатели), может заключаться в определении токов в проводах и напряжений на зажимах приемников, а расчет изолирующей конструкции - в определении напряженности электрического поля в отдельных местах диэлектрика. Первому аспекту задачи отвечает теория цепей; второму - теория электромагнитного поля. Иногда для одной и той же установки приходится решать задачи обоими методами. Физически более общей и детальной является задача, формулируемая в теории электромагнитного поля. [39]
Действительно плодотворным является иной подход, последовательно учитывающий информационные аспекты рассматриваемой обратной задачи. Характер таких информационных фрагментов и способы их включения в постановку задачи могут быть весьма разнообразными. Процедуру их использования в широком смысле слова называют регуляризацией задачи. Так, сравнительно неплохие результаты, которые экспериментаторы время от времени получали на базе тех или иных стихийных методов, объяснялись регуляризацией, хотя часто и не вполне осознанной. Принципы отбора моделей и построения функционалов сложности, введенные А. Н. Тихоновым - тоже регуляризация, только последовательная, ясно формулируемая и учитывающая особенности реального эксперимента. Что же касается нередко встречающихся до сих пор попыток решить некорректную задачу за счет чисто математических ухищрений, без каких-либо дополнительных априорных данных, то они эквивалентны деятельности по созданию perpetuum mobile, производящего информацию из ничего. [40]
Она опирается на физически оправданную гипотезу о том, что повышение порядка модели связано с учетом все более и более быстро протекающих процессов. Аналогично показывалось, что нет необходимости в совместном рассмотрении подсистем, даже сильно связанных между собой, если существенно различны скорости протекающих в них процессов. Таким образом, важным эвристическим приемом в теории динамических систем является разделение движений на быстрые и медленные. Можно предположить, что и вектор оптимального управления для таких систем имеет быструю и медленную компоненту. Первая компонента, опирающаяся на измерение состояний быстрой подсистемы, обеспечивает ее стабилизацию и оптимальный выход на квазистационарный режим; вторая компонента, формулируемая как обратная связь по медленно изменяющимся координатам, обеспечивает оптимальное изменение квазистационарного режима, при этом динамическими параметрами стабилизированной быстрой подсистемы обычно пренебрегают, считая, что обеспечена жесткая связь между управляющими сигналами и состоянием этой подсистемы. При этом исходная задача оптимизации может решаться отдельно для быстрой и медленной подсистем. [41]
Известно много других метризационных теорем. Некоторые из них формулируются ниже в упражнениях. Есть также много способов выводить их одну из другой. Ясно, что доказательство теоремы, устанавливаемой первой, должно содержать построение метрики. В этой книге мы начали с теоремы Нагаты - Смирнова. Можно было бы начать со следствия 5.4.10 ( эскиз построения метрики для этого случая дан в упр. До открытия метризационной теоремы Нагаты - Смирнова и теоремы 8.1.21 в качестве первого звена обычно бралась теорема Читтендена ( формулируемая ниже в упр. G), которая сводит существование метрики к существованию функции р с более слабыми свойствами. Хотя характеристика метризуемости, данная Чит-тенденом, не является чисто топологической, она была важным достижением в изучении метризуемости. [42]
Движение идеального газа описывается квазилинейными уравнениями смешанного типа. Использование теории линейных уравнений для изучения свойств трансзвуковых течений оправдано тем, что каждое решение нелинейного уравнения принадлежит множеству решений некоторого линейного уравнениями, значит, свойства трансзвуковых течений принадлежат совокупности свойств решений линейных уравнений. В связи с этим ряд теорем теории линейных уравнений может быть выражен в терминах аэрогазодинамики. Однако при такой интерпретации могут возникать трудности при формулировке условий реализации свойств, классифицируемых по типам линейных уравнений. Линейное уравнение Чаплыгина в плоскости годографа скорости и его упрощенный вариант - уравнение Трикоми - стали первыми и наиболее полно разработанными объектами теории. Следует все же отметить, что большинство полученных математических результатов имеют пока лишь ограниченное или косвенное приложение в трансзвуковой аэродинамике. Это связано с тем, что области определения считаются заданными и, следовательно, рассматриваемые задачи могут иметь отношение лишь к проблеме профилирования контура тела. В то же время одна из главных задач аэродинамики - прямая задача внешнего или внутреннего обтекания тела заданной формы, формулируемая в плоскости годографа как задача со свободной границей, остается мало обоснованной. [43]