Cтраница 3
Так как в данной базисе как линейные преобразования, так и билинейные формы задаются матрицами, то можно было бы попытаться в аффинном пространстве поставить друг другу в соответствие линейное преобразование и билинейную форму, задаваемые одной и той же матрицей. [31]
Теорема 6 вместе с неравенством Коши-Шварца допускает обобщение с квадратичных на билинейные формы. [32]
Так как в данном базисе как линейные преобразования, так и билинейные формы задаются матрицами, то можно было бы попытаться в аффинном пространстве поставить друг другу в соответствие линейное преобразование и билинейную форму, задаваемые одной и той же матрицей. [33]
Теорема инерции, доказанная нами для квадратичных форм, непосредственно переносится и на симметричные билинейные формы: именно, число положительных и отрицательных коэффициентов канонического виса ( 22) билинейной формы А ( х, у) не зависит от выбора канонического базиса, Поэтому для симметричной билинейной формы имеют смысл понятия положительного и отрицательного индексов инерции. [34]
Теорема инерции, доказанная нами для квадратичных форм, непосредственно переносится и на симметричные билинейные формы: именно, число положительных и отрицательных коэффициентов канонического ви. А ( х, у) не зависит от выбора канонического базиса. Поэтому для симметричной билинейной формы имеют смысл понятия положительного и отрицательного индексов инерции. [35]
При этом переход к новому базису вызывает замену соответствующей билинейной формы эквивалентной ей формой, поэтому эквивалентные билинейные формы можно рассматривать как билинейные формы, соответствующие одной и той же билинейной функции в разных базисах. [36]
Проверим, что полученные функции А ( х у) и В ( х у) - билинейные формы. [37]
Здесь, как и в дальнейшем в этой работе, Фробениус, говоря о формах ( подразумевая билинейные формы) имеет в ввиду матрицы их коэффициентов. [38]
Теорема 7.9. Пусть А ( х, у) и В ( х, у) - симметричные билинейные формы, определенные в вещественном линейном пространстве V. Допустим далее, что для всех х Е V, х ф 0, справедливо неравенство В ( х, х) 0 ( га. [39]
Чтобы установить аналогичную связь с теорией билинейных форм для тензоров из Т и Т [, нужно рассматривать билинейные формы от двух ковариантных векторных аргументов и билинейные формы, у которых один из векторных аргументов является контравариантным, другой - ковариант-ным. И те и другие формы определяются как функции с числовыми значениями, линейные по каждому аргументу. [40]
Проверим, что полученные функции А ( х у) и В ( х, у) - билинейные формы. [41]
С другой стороны, чтобы получить из билинейных форм все возможные квадратичные формы, достаточно иметь одни лишь симметричные билинейные формы. [42]
Отметим, что в любом линейном вещественном пространстве скалярное произведение элементов можно ввести бесконечным числом способов, задавая в некотором базисе различные симметричные билинейные формы с положительно определенными матрицами. [43]
При этом переход к новому базису вызывает замену соответствующей билинейной формы эквивалентной ей формой, поэтому эквивалентные билинейные формы можно рассматривать как билинейные формы, соответствующие одной и той же билинейной функции в разных базисах. [44]