Cтраница 3
Две квадратичные формы статистически независимы, если произведение соответствующих матриц есть нуль. [31]
Две квадратичные формы А ( х х) и В ( х х) одновременным преобразованием переменных могут быть приведены к суммам квадратов [ ( 49) или ( 50) ] в том и только том случае, когда у пучка матриц А В все элементарные делители ( конечные и бесконечные) первой степени, а все минимальные индексы равны нулю. [32]
Две действительные квадратичные формы эквивалентны над полем действительных чисел тогда и только тогда, когда равны их ранги и сигнатуры. [33]
Две комплексные квадратичные формы эквивалентны тогда и только тогда, когда их ранги равны. [34]
Две вещественные квадратичные формы тогда и только тогда приводятся к каноническому виду одним и тем же ортогональным преобразованием, когда их матрицы перестановочны. Две поверхности второго порядка тогда и только тогда имеют параллельные главные оси, когда матрицы из коэффициентов при членах второй степени их уравнений перестановочны. [35]
Две вещественные квадратичные формы тогда и только тогда приводятся к каноническому виду одним и тем же ортогональным преобразованием, когда их матрицы перестановочны. Две поверхности второго порядка тогда и только тогда имеют параллельные главные оси, когда матрицы из коэффициентов при членах второй степени их уравнений перестановочны. Доказать, что подпространство L всех собственных векторов преобразования у, принадлежащих одному и тому же собственному значению Я, будет инвариантным относительно второго преобразования тр. [36]
Две действительные симметрические квадратичные формы х Ах и х Вх или две эрмитовы формы х Ах и х Вх можно одновременно привести к сумме квадратов с помощью одной и той же унитарной матрицы преобразования Т в том и только в том случае, если ВА АВ ( см. также пп. [37]
Две действительные симметрические квадратичные формы х Ах в х Вх или две эрмитовы формы х Ах и х Вх можно одновременно привести к сумме квадратов с помощью одной и той же унитарной матрицы преобразования Т в том н только в том случае, если ВА АВ ( см. также пп. [38]
Как классифицируются квадратичные формы. [39]
Это две квадратичные формы относительно дифференциалов, введенные Гауссом в теорию поверхностей и называемые с тех пор-основными квадратичными формами; их мы и вычислим в первую-очередь. [40]
Подобные же квадратичные формы, оценивающие погрешность модели и измерений, содержатся в подынтегральном выражении функционала. Матрицы PO-I, R и Q определяют весовые коэффициенты, оценивающие важность той или иной составляющей ошибки. Пусть e ( t), T ( t) - случайные процессы типа белого шума, не коррелированные друг с другом и со случайным вектором, а их средние значения равны нулю. [41]
Назовем две квадратичные формы ортогонально эквивалентными, если от одной из них можно перейти к другой посредством ортогонального преобразования. Доказать, что для ортогональной эквивалентности двух форм необходимо и достаточно, чтобы характеристические многочлены их матриц совпадали. [42]
При этом квадратичные формы должны быть подчинены трем соотношениям, называемым условиями Гаусса - Кодацци. [43]
Если две тройничные квадратичные формы аффинно эквивалентны, то конические поверхности, выражаемые в декартовых координатах уравнениями, получаемыми приравниванием этих форм нулю, также аффинно эквивалентны, а значит, соответствующие линии на проективной плоскости проективно эквивалентны. С другой стороны, в силу предложения, доказанного в п 4 § 184, линии на проективной плоскости, выражаемые одним и тем же уравнением в различных системах проективных координат, также проективно эквивалентны. [44]
Теорема 22.1. Квадратичные формы F ( x), G ( y) эквивалентны тогда и лишь тогда, когда их матрицы А и В связаны соотношением вида ( 10), где С - невырожденная матрица над основным полем. [45]