Cтраница 2
Поскольку целью было описание турбулентного движения двухкомпонентной смеси, Франкль применил операцию четырехмерного ( пространственно-временного) осреднения, при этом осреднение было проведено отдельно по каждой из двух долей элементарного объема смеси - по доле объема, занятой жидкостью, и по доле объема, занятой твердыми частицами. [16]
Шнирелъманом и, может быть, также с Тихоновым, Франклем иКу - рошем. Если во время его приезда Юлии Антоновны, Толстовой и Сычевой не будет, думаю, что большой беды не произойдет, хотя он, может быть, и втолковал бы смысл своего мемуара. Очень интересен будет, вероятно, разговор Лефшеца с Франклем - Леф-шец - человек и остроумный, и ироничный, думаю, что Франклъ, хоть и очень важная персона, но даст большую пищу для этих его, Лефшеца, свойств. [17]
Очевидно, решение этой вспомогательной задачи при х 0 является и решением задачи Франкля. [18]
В дальнейшем были поставлены и исследованы новые задачи для уравнений смешанного типа на плоскости, а именно задачи со смещением, задачи Франкля и Бицадзе - Самарского. [19]
Значит, F ( х, у) О в области D, а тогда из (30.10) имеем и v 0 в D, и единственность решения задачи Франкля (30.1) - (30.5) доказана. [20]
Сравнивая это с (21.28), замечаем, что главные члены ф и dfy / di ] совпадают с главными членами нашего частного решения, построенного для сверхзвуковой области. Франкль устанавливает, что ряд (21.29) годится для сколь угодно далекого расстояния от критического сечения в глубь дозвуковой области. [21]
Сходимость ряда в дозвуковой области ( треугольник ОА С) обеспечивается на основании результатов Чаплыгина. Франкль показывает), что при непрерывном изменении данных Коши на переходной линии решение задачи типа нашей, в соответствующем характеристическом треугольнике, меняется непрерывно. Отсюда можно заключить, что (21.35) может представлять решение не только внутри круга г1, но и внутри характеристического треугольника. [22]
Франкль выяснил, что в окрестности скорости, равной скорости звука, уравнение Чаплыгина для функции тока в главном члене совпадает с уравнением Трикоми, что было положено в дальнейшем в основу многих важных исследований в СССР и за границей. [23]
Ими было доказано, что при замене бесконечно малого участка профиля отрезком прямой непрерывное трансзвуковое течение должно разрушаться. Франклем было показано, что трансзвуковое течение без скачка внутри местной сверхзвуковой зоны, вообще говоря, невозможно; более точно им показано, что если для какого-либо профиля при некотором числе Маха существует трансзвуковое течение без скачка, то при бесконечно малом изменении формы контура или кривизны обязательно возникает ударная волна. [24]
Перевод Франкля ( он Frankl, а не Frankel), во всяком случае, сносен. Может быть, я отдам эту работу печатать в Annals of Mathematics - в Mathe-matische Annalen в настоящее время уже печатаются две Понтря-гинские работы, а редакция Annals даже специально женя спрашивала, нет ли у Понтрягина работы для этого журнала. [25]
В качестве треугольника ABC может быть взят любой характеристический треугольник с вершиной на звуковой линии. Тем самым аргументу Франкля был придан строгий смысл. [26]
Опираясь на метод осреднения, использованный Франклем, и стремясь выделить пульсации концентрации взвеси ( точнее, корреляционные моменты между пульсациями концентрации и скоростей), А. К. Дюнин ( 1963 1965) предложил несколько иной ( на наш взгляд, менее ясный) способ осреднения и затем распространил его на случай многофазного течения. Возможность дальнейшего обобщения уравнений Франкля была указана Б. А. Фидманом ( 1965), предложившим применить вероятностное осреднение, отражающее особенности пульсационного спектра осредняемой величины. [27]
Математическая теория уравнений смешанного типа стала интенсивно развиваться после основополагающих исследований Трикоми. Фундаментальные результаты были получены Франклем, Геллерстедтом, Бабенко. Содержание теории составляет обоснование новых краевых задач в областях, являющихся объединениями подобластей эллиптичности и гиперболичности, установление их корректности в соответствующих классах функций, отыскание эффективных методов построения решений. К важным разделам теории следует отнести также исследования корректности классических задач для эллиптических и гиперболических уравнений, когда граница области содержит отрезки линии вырождения. [28]
Нам остается только сказать, как конкретно ищется решение уравнения (21.32) в смешанных ( до - и сверхзвуковых) областях, участвующих в наших задачах. Как мы уже упомянули, Франкль предлагает искать эти решения в виде рядов типа рядов Чаплыгина. [29]
Им было высказано соображение ( аргумент Франкля), основанное на представлении о единственности решения некоторой краевой задачи, аналогичной изученной ранее задаче Франкля для уравнения Трикоми, что было позже доказано К. [30]